GUIA_FRACCIONES PARCIALES

GUÍA FRACCIONES PARCIALES

CÁLCULO INTEGRAL

ESCUELA DE INGENIERÍA DE ANTIOQUIA

FRACCIONES PARCIALES.

Introducción. Las Fracciones Parciales son útiles en Cálculo para dar
solución a cierto tipo de integrales y en Ecuaciones Diferenciales para hallar la
transformada Inversa. Es por esto que se dedicará ésta sección al estudio de las
Fracciones Parciales.

Objetivo. Expresar una fracciónracional como la suma de otras fracciones
parciales más simples.
Nota. Para lograr el objetivo anterior es fundamental haber logrado la
habilidad en factorización de polinomios, solución de sistemas de ecuación
lineales, igualdad entre polinomios.
(Ayuda: Ver guía sobre factorización. Servidor ftp).

Definiciones.
 Fracción Racional. Expresión de la forma

, donde

y

≠0

son polinomios de la variable.
Ejemplos. Las siguientes son fracciones racionales.
a)

b)

c)

 Fracción Propia. Fracción racional en la cual el grado del numerador
es menor que el grado del denominador.

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Ejemplos. Las siguientes fracciones son propias.
a)

b)

c)

 Fracción Impropia. Es aquella que no es propia; es decir, el grado del
numerado es mayor o igual que el grado deldenominador.
Ejemplos. Las siguientes son fracciones impropias.
a)

b)

c)

 Fracción Parcial. Se dice que una fracción propia se puede
descomponer en fracciones parciales, cuando es la suma de fracciones
cuyos numeradores son de grado menor que el grado del denominador
de la facción original. A cada fracción de la descomposición se le llama
fracción parcial o fracción simple.
Ejemplo: lafracción propia
es equivalente a la siguiente suma
de facciones parciales.

Fracción parcial

Fracción parcial

Nota. Si se realiza la suma de fracciones parciales usando MCD el
resultado es la fracción original.
A continuación se enuncia una propiedad (Teorema) que garantiza
siempre la descomposición en fracciones parciales de cualquier fracción
racional.

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Página 2Teorema Fundamental de las Fracciones Parciales.
Cualquier fracción racional puede descomponerse en una suma de fracciones
parciales.
Con la ayuda del teorema se explica cómo abordar las diferentes posibilidades
para la descomposición en fracciones parciales.
Para iniciar la descomposición en fracciones parciales es necesario que la
fracción original sea propia. En caso de no serlo, se usará ladivisión entre
polinomios para expresarla como la suma de un polinomio de grado menor
que el grado del polinomio que es denominador de la fracción original y de
una fracción que resulta ser propia.
Ejemplo. La siguiente fracción es impropia. Usar la división entre polinomios
para expresarla como la suma de un polinomio y una fracción propia.

Según la regla de la división: dividendo= (divisor)(cociente)+ (residuo), la
fracción la escribimos

Fracción propia

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Veamos ahora el proceso para la descomposición en fracciones parciales de
una fracción propia.
Inicialmente se hace la factorización del polinomio denominador de la
fracción. En esta factorización solo habrán factores lineales (potencias de
éstas) o factores cuadráticos irreducibles(potencias de estos).

Caso 1: el denominador de la fracción propia contiene factores lineales (de
primer grado) de la forma
, no repetidos, es decir:

Entonces, por cada factor lineal de la forma
parcial de la forma

, hay una fracción

, luego

n factores

n fracciones parciales

Donde
son cantidades a determinar a partir de la suma de
fracciones planteadas y la igualdad entre polinomios.
Ejemplo:encontrar la descomposición en fracciones parciales de

Solución: el grado del numerador es 2 y el grado del denominador es 3, por
tanto tenemos una fracción propia. Primero factorizamos completamente el
denominador

Así la descomposición en fracciones parciales tiene la forma

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Ahora es necesario determinar el valor de las constantes A, B y C....