guia

Pontificia Universidad Cat´lica de Valpara´
o
ıso
Escuela de Ingenier´ El´ctrica
ıa e
IEE345 - An´lisis de Se˜ales y Sistemas
a
n

Gu´ de estudio I:
ıa

Propiedades de se˜ ales en tiempo
n
continuo y discreto
Agust´ Valencia Gonz´lez
ın
a
Ayudante
Gabriel Hermosilla Vigneau
Profesor
26 de marzo de 2013

1. Encuentre la parte par e impar de la se˜ al x(t) = ejt
n
Soluci´no
Se sabe que una se˜al se puede descomponer en una suma de una se˜al par y otra impar,
n
n
de esta forma:
x(t) = xp (t) + xi (t)
ejt = xp (t) + xi (t)
La se˜al par est´ dada por:
n
a
1
(x(t) + x(−t))
2
1 jt
xp (t) =
(e + e−jt )
2
xp (t) = cos(t)
xp (t) =

Y la se˜al impar:
n
1
(x(t) − x(−t))
2
1 jt
(e − e−jt )
xi (t) =
2
xi (t) = j sin(t)

xi (t) =

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a
n

2. Demuestre que el producto de dos se˜ ales pares y de dos se˜ ales impares
n
n
producen una se˜ al par, y que el producto de una se˜ al par con una
n
n
impar da a lugar una se˜ al impar.
n
Soluci´n
o
Si x(t) = x1 (t) · x2 (t) y x1 (t) con x2 (t) son pares lasdos, entonces:
x(−t) = x1 (−t) · x2 (−t)
x(−t) = x1 (t) · x2 (t)
x(−t) = x(t)

Luego si x1 (t) con x2 (t) son impares, se tiene que:
x(−t)
x(−t)
x(−t)
x(−t)

x1 (−t) · x2 (−t)
−x1 (t) · −x2 (t)
x1 (t) · x2 (t)
x(t)

=
=
=
=

Finalmente si x1 (t) con x2 (t) son par e impar respectivamente se tiene:
x(−t)
x(−t)
x(−t)
x(−t)

x1 (−t) · x2 (−t)
x1 (t) · −x2 (t)
−(x1 (t) ·x2 (t))
−x(t)

=
=
=
=

3. Muestre que para una se˜ al par se cumple que:
n
∫ a
∫ a
x(t)dt = 2
x(t)dt
−a

0

Soluci´n
o
Se puede plantear que :
∫

∫

a

x(t)dt =
−a

∫

0

a

x(t)dt +
−a

x(t)dt
0

Y haciendo el cambio de variable t = −λ al primer sumando se tiene que:

2

(1)

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a
n

∫

∫

0

0

x(t)dt =

x(−λ)(−dλ)

−a

∫

a
a

x(−λ)(dλ)

=
0

Como x(t) es par, se cumple que: x(−λ) = x(λ), entonces:
∫

∫

a

a

x(−λ)(dλ) =

x(λ)dλ
∫

0

0
a

=

x(t)dt
0

Luego reemplazando en la relaci´n (1), se tiene que:
o
∫

∫

a

∫

a

x(t)dt =

a

x(t)dt +−a

∫

0

= 2

x(t)dt
0

a

x(t)dt
0

k
∑

4. Muestre que si x[n] es impar, entonces

x[n] = 0

n=−k

Soluci´n
o
Cpmo x[n] es impar entonces se cumple que x[−n] = −x[n], luego puede plantearse que
x[−0] = −x[0]
As´ por teorema del sandwich, se expresa que:
ı,
x[−0] = x[0] = −x[0] =⇒ x[0] = 0
Luego realizando una descomposici´n de la relaci´n del enunciado, se puedeescribir que:
o
o
k
∑
n=−k

x[n] =

−1
∑

x[n] + x[0] +

k
∑

x[n]

n=1

n=−k

Haciendo un cambio de variable n = −m en la primera sumatoria se tiene que:

3

(2)

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n

−1
∑

k
∑

x[n] =

x[−m]

m=1

n=−k

Reemplazando enla relaci´n (2) se tiene que:
o
k
∑
n=−k

x[n] =

k
∑

k
∑

x[−m] + x[0] +

m=1

= −
= −

x[n]

n=1

k
∑
m=1
k
∑

x[m] + x[0] +

x[n] + x[0] +

n=1

k
∑

x[n]

n=1
k
∑

x[n]

n=1

= x[0] = 0
∴

k
∑

x[n] = 0

n=−k

5. Muestre que la se˜ al exponencial compleja x(t) = eȷω0 t es peri´dica y que
n
o
2π
su periodo fundamental es
ω0Soluci´n
o
Una se˜al es peri´dica si se cumple que
n
o
x(t + T ) = x(t), ∀t

(3)

Donde el periodo fundamental es T0 es el m´
ınimo valor de T > 0 para el cual se cumple
la relaci´n (3), as´
o
ı:
x(t + T ) = x(t)
eȷω0 (t+T ) = eȷω0 t
eȷω0 (t) · eȷω0 (T ) = eȷω0 t

(4)

Luego la unica forma de que se (4) satisfaga con (3) es que se cumpla que
´
eȷω0 (T ) = 1

4

(5)...