GUIA31ROSEM2015

UNIVERSIDAD AUSTRAL DE CHILE
FACULTAD DE CIENCIAS DE LA INGENIER´IA
´
CENTRO DE DOCENCIA DE CIENCIAS BASICAS
PARA INGENIER´IA.

Gu´ıa 2 BAIN041 Ecuaciones Diferenciales para Ingenier´ıa
Primer Semestre 2015
Paulo Alvarez - Sergio Jara - Ana Mar´ıa Ruiz
1. Resuelva los siguientes PVI
a) y + 3y = 0; y(0) = −2, y (0) = 3
b) y + 4y = 4x; y(0) = 1, y (0) = 0
c) y − 5y + 4y = 0; y(0) = 1, y (0) = 0

d)y − 4y + 4y = 0; y(0) = 0, y (0) = 1
e) y + y = xex ; y(0) = y (0) = 0

f ) y + 2y + 5y = 3e−x sin x; y(0) = 0, y (0) = 1
g) y + 4y =

0, 0 < x ≤ 4
; y(0) = 3, y (0) = −2
1, x > 4

h) y + 3y + 2y =

0, 0 < x ≤ 1
; y(0) = 0, y (0) = 1
1, x > 1

2. Resuelva los siguientes PVI usando Transformada de Laplace,
a)

y + 3y − 4y = t
y(0) = y (0) = 0

c)

y +y −y −y =0
y(0) = y (0) = 2, y (0) = 1

b)

y +2y + 2y = e−t sin(2t)
y(0) = y (0) = 0

d)

y + 4y = sin(2t) + cos(2t)
y(0) = y (0) = 0

3. Resuelva los siguientes PVI usando Transformada de Laplace. Aqu´ı f (t) es una funci´on no
especificada que tiene transformada de Laplace.
a)

y + 5y + 4y = f (t)
y(0) = y (0) = 0

c)

y + 4y = f (t)
y(0) = y (0) = y (0) = 0

b)

y − 3y = f (t)
y(0) = −6

d)

y + 5y + 4y = f (t)
y(0) = y (0) = 0

1

4.Resuelva los siguientes PVI usando Transformada de Laplace,

 0 si 0 ≤ t < 1
y + y = g(t)
1 si 1 ≤ t < 3
a)
donde g(t) =
y(0) = y (0) = 0

2 si t ≥ 3

si 0 ≤ t < 1
 t
y + y = g(t)
t + 1 si 1 ≤ t < 2
b)
donde g(t) =
y(0) = 1

0
si t ≥ 2

si 0 ≤ t < π2
 0
y + 5y + 6y = g(t)
cos t si π2 ≤ t < 3π
c)
donde g(t) =
2
y(0) = y (0) = 0

0
si t ≥ 3π
2
5. Resuelva los siguientes PVI
a)

y + 6y + 109y= δ(t − 1) − δ(t − 7)
c)
y(0) = y (0) = 0

b)

y + 4y = t + δ(t − 4π)
y(0) = y (0) = 1

2y − 3y + y = 2tet + 3δ(t − π)
y(0) = 1, y (0) = 2

6. Bosqueje las siguientes funciones periodicas en R y calcule su Transformada de Laplace
L[g(t)]:
a) g(t) = | sin t|
b) g(t) = | cos t|
t2
si 0 ≤ t < 1
c) g(t) =
2
2 − t si 1 ≤ t < 2

d) g(t) =

t
si 0 ≤ t < 1
2 − t si 1 ≤ t < 2

e) g(t) = et , t ∈ [0, 2[Aplicaci´
on de EDO orden superior
7. Se fija un contrapeso de 4 Ib a un resorte cuya constante es 16 lb/f i. ¿Cu´al es el periodo del
movimiento arm´onico simple?
8. Al fijar un contrapeso de 24 Ib al extremo de un resorte, lo estira 4 cm. Deduzca la ecuaci´on
del movimiento cuando el contrapeso se suelta y parte del reposo desde un punto que est´a 3
in arriba de la posici´on de equilibrio.
9. Unafuerza de 400 N estira 2 m un resorte. Despu´es, al extremo de ese resorte, se fija una
masa de 50 kg y parte de la posici´on de equilibrio a una velocidad de 10 m/s hacia arriba.
Deduzca la ecuaci´on del movimiento.
10. Otro resorte, cuya constante es 20 N/m, esta colgado del mismo soporte r´ıgido, pero en
posici´on paralela a la del sistema resorte y masa del problema anterior. Al segundoresorte
se le fija una masa de 20 kg, y ambas masas salen de su posici´on de equilibrio con una
velocidad de 10 m/s hacia arriba.
(a) ¿Cu´al masa tiene la mayor amplitud de movimiento?
(b) ¿Cu´al masa se mueve con m´as rapidez cuando t = π/4 s?. ¿Y cuando t = π/2 s?
2

(c) ¿En qu´e momento est´an las dos masas en la misma posici´on? ¿D´onde est´an en ese
momento? ¿En qu´e direcciones se mueven?
11. Uncontrapeso de 64 Ib est´a unido al extremo de un resorte y lo estira 0.32 f t. Si parte de
una posici´on 8 in sobre la posici´on de equilibrio, con una velocidad de 5 f t/s hacia abajo.
(a) Deduzca la ecuaci´on del movimiento.
(b) ¿Cu´ales son la amplitud y el periodo del movimiento?
(c) ¿Cu´antas oscilaciones completas habr´a hecho el contrapeso a los 37r segundos?
(d) ¿En qu´e momento pasa elcontrapeso por la posici´on de equilibrio al ir hacia abajo por
segunda vez?
(e) ¿En qu´e momento alcanza el contrapeso su desplazamiento extremo en ambos lados de
la posici´on de equilibrio?
(f) ¿Cu´al es la posici´on del contrapeso cuando t = 3 s?
(g) ¿Cu´al es su velocidad instant´anea cuando t = 3 s?
(h) ¿Cu´al es su aceleraci´on cuando t = 3 s?
(i) ¿Cu´al es la velocidad instant´anea al pasar...