Guion de la asignatura análisis matemático

´
´
GUION. ANALISIS
MATEMATICO.
Los n´
umeros reales.
Axiomas en (R, +, ·, ≤).
S1 . a + (b + c) = (a + b) + c, ∀ a, b, c ∈ R
S2 . a + b = b + a, ∀ a, b ∈ R
S3 . ∃0 ∈ R tal que a + 0 = a, ∀ a ∈ R
S4 . ∀ a ∈ R, ∃b ∈ R tal que a + b = 0
P1 . a · (b · c) = (a · b) · c, ∀ a, b, c ∈ R
P2 . a · b = b · a, ∀ a, b ∈ R
P3 . ∃1 ∈ R tal que a · 1 = a, ∀ a ∈ R
P4 . ∀ 0 = a ∈ R, ∃b ∈ R tal que a· b = 1

SP . (a + b) · c = a · c + b · c, ∀ a, b, c ∈ R
O1 . ∀ a, b ∈ R es a ≤ b ´
ob≤a
O2 . Si a, b ∈ R, a ≤ b y b ≤ a ⇒ a = b
O3 . Si a, b, c ∈ R, a ≤ b y b ≤ c ⇒ a ≤ c
OS. Si a, b, c ∈ R, a ≤ b ⇒ a + c ≤ b + c
OP . Si a, b, c ∈ R, a ≤ b y 0 ≤ c ⇒ a · c ≤ b · c
AC. Axioma de completitud

Nota. Es posible identificar R con el conjunto de puntos de una recta.
S´ımbolo sumatorio. Sea n∈ N. Dados a0 , a1 , . . . , an ∈ R. Se denota
a0 + a1 + . . . + an =

n
∑

ak

k=0

Propiedades. Dados n, m ∈ N y a0 , a1 , . . . , an , b0 , b1 , . . . , bn , t ∈ R.
n
n
n
∑
∑
∑
i)
ak +
bk =
(ak + bk )

ii)
iii)
iv)

v)
vi)

k=0
n
∑
k=0
n
∑
k=0
n
∑
k=0
n
∑
k=0
n
∑

k=0

k=0

ak = a0 +

n
∑

ak =

k=1

tak = t

n
∑

n−1
∑

ak + ank=0

ak

k=0

ak =
ak =

n
∑

an−k

k=0
n+m
∑

ak−m

(cambio de ´ındice)

k=m

(ak − ak−1 ) = an − a0

(propiedad telesc´opica)

k=1

n

Binomio de Newton. (x + y) =

n ( )
∑
n
k=0

k

xk y n−k

1

∀x, y ∈ R, n ∈ N.

Valor absoluto. Se define el valor absoluto o m´odulo de a ∈ R como |a| =

{

a
−a

a≥0
a≤0

Proposici´
on. Para todo a, b,t ∈ R, t ≥ 0,
i) |a| ≥ 0.
ii) |a − b| ≤ t ⇐⇒ b − t ≤ a ≤ b + t.
iii) |a · b| = |a| · |b|.
iv) |a + b| ≤ |a| + |b|.
v) |a| − |b| ≤ |a − b|.
vi) a2 ≤ b2 ⇐⇒ |a| ≤ |b|.
vii) |a − b| indica la distancia entre a y b.
Proposici´
on.
i) Para todo par a, b ∈ R con a < b existe r ∈ Q tal que a < r < b.
ii) Sea a ∈ R. Para todo ε > 0 existe r ∈ Q tal que |a − r| < ε.
iii) Sea a ≥ 0. Para todo n∈ N existen a0 ∈ Z+ y a1 , . . . an ∈ Z+ , con 0 ≤ ak ≤ 9,
1 ≤ k ≤ n tal que rn := a0 + a1 10−1 + . . . an 10−n ∈ Q verifica rn ≤ a < rn + 10−n .
iv) Para todo par a, b ∈ R con a < b existe s ∈ R \ Q tal que a < s < b.
Funciones reales de variable real.
Definici´
on. Sean D, D ⊂ R no vac´ıos.
i) Una funci´on f de D en D es una correspondencia que asocia a cada elemento x de D
un u
´nico n´umero real f (x) en D . Se denota f : D → D .
ii) El conjunto D recibe el nombre de dominio de f . El conjunto f (D) = {f (x) | x ∈ D}
recibe el nombre de conjunto imagen o rango de f .
iii) f se dice inyectiva si f (x) = f (y), x, y ∈ D implica x = y.
iv) f se dice sobreyectiva si f (D) = D .
v) f se dice biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva.
Definici´
on. Sea D ⊂ R no vac´ıo. Sea f :D → R funci´
on.
i) f se dice (estrictamente) creciente si ∀ x, y ∈ D con x < y se tiene f (x) < f (y).
ii) f se dice no decreciente si ∀ x, y ∈ D con x < y se tiene f (x) ≤ f (y).
iii) f se dice (estrictamente) decreciente si ∀ x, y ∈ D con x < y se tiene f (x) > f (y).
iv) f se dice no creciente si ∀ x, y ∈ D con x < y se tiene f (x) ≥ f (y).
Nota. Una funci´on que verifique ii), iv) sellama mon´otona. Si verifica i), iii), estrictamente
mon´otona.
Definici´
on. Sea f : R → R funci´
on.
i) f se dice par si ∀x ∈ R se tiene f (−x) = f (x).
ii) f se dice impar si ∀x ∈ R se tiene f (−x) = −f (x).
iii) f se dice peri´odica de periodo T ∈ R si ∀x ∈ R se tiene f (x + T ) = f (x).
2

Operaciones con funciones. Sea D ⊂ R no vac´ıo. Sean f, g: D → R funciones. Se
define,
-Suma. f + g: D → R como (f + g)(x) := f (x) + g(x), ∀ x ∈ D.
- Producto. f · g: D → R como (f · g)(x) := f (x) · g(x), ∀ x ∈ D.
f
f
f (x)
- Cociente. Si g no se anula en D, se define : D → R como ( )(x) :=
, ∀ x ∈ D.
g
g
g(x)
- Inversa. Si f es inyectiva se define f −1 : f (D) → D como f −1 (y) = x donde x ∈ D
es tal que f (x) = y.
- Composici´
on. Si f : D → R y g: D → R con f (D)...