Hiperbola

HIPÉRBOLA

La hipérbola como lugar geométrico
En el apartado Secciones cónicas hemos visto que la hipérbola está formada por el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos llamado focos, y que llamaremos F y F', es constante. Es decir
P es un punto de la hipérbola si y sólo si PF-PF' es constante
P es un punto de la hipérbola si y sólo si PF'-PFes constante
Estas dos condiciones se pueden resumir en una: P es un punto de la hipérbola si y sólo si |PF-PF'| es una cantidad constante.
| |
La hipérbola tiene dos ramas: la rama de la derecha cumple que PF'-PF es constante, y la rama de izquierda cumple que PF-PF' es constante

Los elementos fundamentales de la hipérbola
Focos: son los puntos fijos F y F'
Radio vectores de un puntoP: son los segmentos PF y PF'
Distancia focal: es la distancia entre los focos F y F'
Eje focal: es la recta que pasa por los focos. La mediatriz del segmento FF' recibe el nombre de eje imaginario o eje secundario. El eje focal corta a la hipérbola en dos puntos que vamos a llamar vértices de la hipérbola; los designaremos mediante las letras A y A'. El punto de corte de ambos ejes recibe elnombre de centro de la hipérbola. Observa que la hipérbola es simétrica respecto al eje focal y respecto al eje imaginario, así como respecto a su centro.
|

Relación entre los elementos de la hipérbola
Sabemos que todo punto de la hipérbola cumple que la diferencia de distancias a los focos es constante. Vamos a llamar a dicha constante k.
Entonces tendremos:
Como A es un punto de lahipérbola (rama derecha): AF'-AF = k ==> F'A' + A'A - AF = k
Como A' es un punto de la hipérbola (rama izquierda): A'F-A'F' = k ==> A'A + AF - A'F' = k 
Sumando término a término, obtenemos: F'A' + A'A - AF +AA' + AF - A'F' = 2K ==> 2 AA' = 2k ==>AA' = k

Si llamamos "a" a la distancia desde el vértice A al centro de la hipérbola (ó desde A' al centro), entonces AA' = 2a = k
De esta formallegamos a la conclusión de que k=2a. Es decir: |PF - PF'| =2a siendo "a" la distancia desde A (ó A') al centro de la hipérbola.


Como OF = OF', si hacemos OF = OF' = c, entonces la distancia focal será: FF' = 2c
En todo triángulo un lado es mayor que la diferencia de los otros dos. En el triángulo PFF', se tendrá que FF' > PF' - PF ==> 2c > 2a ==> c > a
Como c > a ==> c2 >a2 ==> c2 - a2 > 0
Por ser este número positivo se le puede llamar b2 ==> c2 - a2 = b2. Más adelante le daremos un significado a este número b.
|

Excentricidad de la hipérbola
Se define la excentricidad de le hipérbola de la siguiente forma: e = c/a. Como a < c, se tendrá que e > 1, para la hipérbola . Podemos entonces concluir que la hipérbola es una cónica cuyaexcentricidad es mayor que 1.

Tangente y normal en un punto de la hipérbola
Dos propiedades importantes de la tangente y normal a una hipérbola en un punto P
La bisectriz de la rectas que contienen a los radio-vectores de P, en una hipérbola, es tangente a la hipérbola
Hemos de demostrar que la bisectriz del ángulo F'PF es tangente a la hipérbola (Figura 1)

FIGURA1FIGURA 2 FIGURA 3

Sean s y r las rectas que contienen a los radio vectores del punto P. Sea Q un punto de r, tal que PF = PQ (Figura 2). Sea t la bisectriz del ángulo FPF´. Por construcción t debe ser la mediatriz del segmento FQ.
Demostraremos que t es tangente a la hipérbola. Para ello, tomamos otro punto cualquiera de t, que llamamos por ejemplo P', y demostraremosque P' no está en la hipérbola.
Como P' está en t, será P'Q = P'F
Como P está en la hipérbola PF - PF' = 2a. Luego PF - PF' = PQ - PF' = F'Q = 2a
Por otro lado P'F - P'F' = P'Q - P'F' < F'Q = 2a, ya que en el triángulo P'F'Q la diferencia entre las longitudes de dos lados es menor que el tercero (propiedad que se cumple en cualquier triángulo)
Inversamente: la tangente a una hipérbola...