Historia

INSTITUTO TECNOLOGICO DE ESTUDIOS SUPERIORES DE
ZAMORA

INGIENERIA EN INDUSTRIAS ALIMENTARIAS

CALCULO

SUMA DE RIEMAN

MAURICIO SILVA ALVAREZ


INTRODUCCIÓN HISTÓRICA
El problema del cálculo de áreas planas y de volúmenes de sólidos se remonta a los tiempos de los griegos. Básicamente existían dos tipos de métodos: los métodos heurísticos o atómicos, y los métodos de exhausción.Los métodos heurísticos se basaban en la teoría atomista de Demócrito, que consideraba una línea, superficie o volumen como formada de un gran (aunque finito) número de átomos. Se trataba entonces, de sumar todos sus átomos para calcular su longitud, superficie o volumen. Con este método, Demócrito calculó por primera vez los volúmenes del cono y la pirámide.
Los métodos de exhausción tratabande forma más rigurosa el cálculo de áreas y volúmenes, realizando demostraciones exhaustivas de los resultados, pero tenían la desventaja de la necesidad de conocer el resultado para poder demostrarlo. Estos métodos fueron típicos de la Matemática griega y renacentista.
La obra de Arquímedes fue la mayor aportación de la matemática griega al cálculo integral. Entre sus resultados se encuentranlas relaciones entre el área de la esfera y la longitud del ecuador, entre el volumen de la esfera y el del cilindro circunscrito, el área de un segmento de parábola, el área de la elipse, el volumen y área lateral de esferas, conos y pirámides. Arquímedes utilizó ambos tipos de métodos.
Los problemas de cálculo de áreas resurgieron en el siglo XVII por las necesidades de la Mecánica. JohannKepler calcula el volumen de determinadas vasijas obtenidas a partir de la revolución de segmentos de cónicas: un círculo está formado por una infinidad de triángulos con un vértice común en el centro. Era un método más heurísitico y menos riguroso que el de Arquímedes.
En el siglo XVII el principio de Cavalieri establece que dos sólidos con la misma curva de altura tienen el mismo volumen si lassecciones planas de igual altura tienen el mismo área. Este principio permitió integrar polinomios.
Pascal calculó áreas y volúmenes relacionados con la cicloide, utilizando indivisibles. También obtuvo por sumación las áreas de las funciones sen x, sen2 x y x sen x cuando uno de los límites es 0 ó PI.
En 1670 el matemático Barrow descubre un método general para calcular tangentes y formula larelación entre la tangente y el área, aunque parece que ¡no fue consciente de la importancia de su descubrimiento!.
El reconocimiento del problema del cálculo de áreas como el inverso del cálculo de diferenciales, se debe a Newton y Leibniz. Newton sí se dio cuenta de la relación existente entre los dos problemas, unificándolos en el "cálculo de fluxiones". Newton calculó áreas porantidiferenciación, dando el primer enunciado explícito del teorema fundamental del Cálculo. Independientemente, Leibniz llega a los mismos resultados, pero considerando la integración como una suma. Leibniz introdujo además la moderna notación de .
El nombre de Cálculo Integral fue puesto por Jacob Bernoulli a finales del siglo XVII. En el siglo XIX Euler publicó en un libro todo el cálculo integralelemental.
El Cálculo Integral fue asentado de forma rigurosa a partir de la noción de límite de Cauchy. Pero la integral de Cauchy sólo era válida para funciones continuas en intervalos cerrados y acotados. Esto dejaba fuera muchas funciones, así que fue Riemann quien definió la integral que lleva su nombre, ampliando la clase de funciones integrables a las funciones continuas salvo en un númeronumerable de discontinuidades; pero la relación entre derivación e integración deja de ser válida en los puntos de discontinuidad.
Y el gran desarrollo del análisis hizo aparecer la noción de integral de Lebesgue, en el que toda función definida de forma constructiva es integrable. Esta integral tiene mayor generalidad, y un mejor comportamiento en los procesos de paso al límite.
Introduciremos...