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Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones

4. CAMBIO DE VARIABLE EN LAS INTEGRALES MÚLTIPLES
En esta sección se presenta una alternativa para resolver integrales múltiples cuando el proceso de determinar las antiderivadas parciales es muy complicado o riguroso. Para ello es necesario definir transformaciones geométricas de
2

→

2

y

3

→

3

;posteriormente se enuncian los teoremas de cambios de variables para integrales dobles y triples, sugiriendo los sistemas de coordenadas más empleados: Sistema polar para integrales dobles y los sistemas de coordenadas cilíndricas y esféricas para integrales triples.

4.1 INTRODUCCIÓN
Recuerde que emplear un cambio de variable de un integral definida implica que el cambio afecta: el intervalo deintegración, el integrando y la diferencial.

En el cálculo integral, para evaluar una integral definida de una función real de variable real en un intervalo cerrado [ a,b ] existe un teorema que permite cambiar la variable de integración con la finalidad de resolver dicha integral de una manera más sencilla. TEOREMA: Cambio de Variable en una Integral Definida

La expresión: g ([ c,d ]) ⊂ [a,b ] Significa que las imágenes de la función g son un subconjunto de [ a,b] .

Sea f : [ a, b ] →

una función continua y g : [ c, d ] →

una

función derivable con derivada g ′ ( t ) continua (es decir, g es de clase C1) tal que g ([ c,d ]) ⊂ [ a,b ] , entonces

∫ f ( x )dx = ∫
a

b

d c

f  g ( t )  g ′ ( t ) dt  

(IV.1)

x = g (t )

CV

dx = g ′ ( t ) dt
CLI x = g(c) = a

Para resolver la integral del segundo miembro de la ecuación IV.1 se realiza el cambio de variable, CV, y el cambio de los límites de integración, CLI, señalado en la parte inferior izquierda de esta página.

t=c ⇒ t=d ⇒

x = g (d ) = b

UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

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Cuando sedesea resolver una integral doble empleando un cambio de variable, el proceso resulta más complicado pues se deben cambiar ambas variables x y y por las variables u y v, por ejemplo. Este cambio se realiza mediante una transformación geométrica del tipo
2

→

2

.
2

4.2 TRANSFORMACIÓN GEOMÉTRICA DE
Una transformación geométrica del tipo
2

→

2

→

2

se realiza

cuando unaregión bidimensional D del plano xy se transforma o convierte en una nueva región bidimensional D′ del plano uv. Esta transformación se realiza por medio de una función T : Sea T una función definida como T : D′ ⊂
2 2

→

2

.

→D⊂

2

, tal que: (IV.2)

T ( u,v ) = (T1 ( u,v ) ,T2 ( u,v ) ) Donde:
En otras palabras, la función T transforma todo punto ( u,v ) ∈ D′ en un punto ( x, y) ∈ D .

T1 ( u,v ) = x T2 ( u,v ) = y

(IV.3) (IV.4)

Por lo tanto, la función de transformación es: T ( u,v ) = ( x, y ) La cual suele escribirse como:
 T1 ( u,v )   x      T ( u,v ) =  =  T2 ( u,v )   y     

(IV.5)

(IV.6)

UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

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Por otraparte, como se busca resolver una integral doble

∫∫ f ( x, y ) dA
D

empleando un cambio de variable, observe que al

componer las funciones f con T , se obtiene:

f (T ( u,v ) ) = f ( u,v )

(IV.7)

En la figura 4.1 se observa la transformación geométrica de la región D′ en la región D , la cual se realiza por medio de la función T .

Figura 4.1 Transformación geométrica de laregión D′ en la región D

TEOREMA: Cambio de Variable en una Integral Doble Sea f :
Una matriz T ′ ( u,v ) es inversible cuando su determinante es no nulo en todos los puntos ( u,v ) ∈ D′ .
D = T ( D ′ ) ⇒ D ′ = T −1 ( D )
2

→

una función continua de las variables x y y
2

definida en la región D ⊂ transforma los puntos

. Sea T una función inyectiva que
2

( u ,v ) ∈ D ′ ⊂

en...