hola

Desde el principio de los tiempos la ciencia ha estado ligada en todos los aspectos a la vida del hombre. Entendiendo por ciencia todo lo que ha necesitado de un estudio cuidadoso para demostrar su existencia. Las matemáticas existen desde antes de Cristo en donde cada filosofo exponía su teoría sobre el origen de la vida planteando cuatro elementos fundamentales (aire, agua, tierra y fuego);contrario a esto los pitagóricos defendían su ponencia de que los números eran el principio de todo.
El cálculo actualmente brinda múltiples beneficios a diferentes actividades realizadas por el hombre yá sea en el área administrativa, industrial, ambiental, económica, etc. Por medio de las aplicaciones que tiene el cálculo el hombre ha podido solucionar problemas de diferentes tipos.
Dentro delamplio contenido del cálculo vectorial el hombre ha podido aprovechar temas como:
-Derivadas
-Integrales
-Vectores
-Superficies en el espacio
-Movimientos en el espacio
-Curvatura
-Maximización y minimización
-Aéreas y volúmenes
-Campos vectoriales
-Gradiente




Haciendo énfasis en este último tenemos que:
El gradiente normalmente denota una dirección en el espacio según la cualse aprecia una variación de una determinada propiedad o magnitud física.
En otros contextos se usa informalmente gradiente, para indicar la existencia de gradualidad o variación gradual en determinado aspecto, no necesariamente relacionado con la distribución física de una determinada magnitud o propiedad.
El gradiente de un campo escalar, que sea diferenciable en el entorno de un punto, es unvector definido como el único que permite hallar la derivada direccional en cualquier dirección como:

siendo un vector unitario y la derivada direccional de en la dirección de , que informa de la tasa de variación del campo escalar al desplazarnos según esta dirección:




Una forma equivalente de definir el gradiente es como el único vector que, multiplicado por cualquierdesplazamiento infinitesimal, da el diferencial del campo escalar:

Con la definición anterior, el gradiente está caracterizado de forma unívoca. El gradiente se expresa alternativamente mediante el uso del operador nabla:

Interpretación del Gradiente
De forma geométrica el gradiente es un vector que se encuentra normal a una superficie o curva en el espacio a la cual se le esta estudiando, en unpunto cualquiera,llamese , , etcétera. Algunos ejemplos son:
-Considere una habitación en la cual la temperatura se define a través de un campo escalar, de tal manera que en cualquier punto , la temperatura es . Asumiremos que la temperatura no varía con respecto al tiempo. Siendo esto así, para cada punto de la habitación, el gradiente en ese punto nos dará la dirección en la cual se calientamás rápido. La magnitud del gradiente nos dirá cuán rápido se calienta en esa dirección.
-Considere una montaña en la cual su altura en el punto se define como . El gradiente de H en ese punto estará en la dirección para la que hay un mayor grado de inclinación. La magnitud del gradiente nos mostrará cuán empinada se encuentra la pendiente.
Aproximación lineal de una función
El gradiente de unafunción f definida de Rn a R caracteriza la mejor aproximación lineal de la función en un punto particular x0 en Rn. Se expresa así:

donde es el gradiente evaluado en x0.
Propiedades
El gradiente verifica que:
-Es ortogonal a las superficies equiescalares, definidas por =cte.
-Apunta en la dirección en que la derivada direccional es máxima.
-Su módulo es igual a esta derivadadireccional máxima.
-Se anula en los puntos estacionarios (máximos, mínimos y puntos de silla)
-El campo formado el gradiente en cada punto es siempre irrotacional, esto es,

Expresión en diferentes sistemas de coordenadas
A partir de su definición puede hallarse su expresión en diferentes sistemas de coordenadas.
En coordenadas cartesianas, su expresión es simplemente

En un sistema de...