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Aplicaciones del Cálculo Vectorial

La Aceleración de un vector
Las características de un fluido de cualquiera de sus puntos en el espacio, es una función de un vector de posición R=xi + yj + zk ysu variable de tiempo “t”. Nuestro vector de velocidad V será una función de variable independiente sobre “R” y “t”. Cuando obtenemos la ecuación general de movimiento, la aceleración general delvector del movimiento de una partícula del fluido corresponderá, un conjunto fijo de ejes ortogonales, se establecen y aplicados a un movimiento de nuestro conjunto de ejes ortogonales.

Supongamos quedejar que la partícula de fluido en el espacio ocupar la posición P en el tiempo. Esto es equivalente a dejar que el vector de posición P dado por el vector R., también puede dejar que la velocidadresultante en P dada por V = V (r, t). Si, después de un intervalo de tiempo dt, la partícula de fluido se desplaza a la nueva posición P ', podemos escribir el vector de posición de nuevo como R +Vdt. El vector de velocidad de este vector de posición nueva en P 'puede ser escrito como V + dV = V (R + Vdt, t + dt). Esto nos lleva a la siguiente expresión:

dV = V(R + Vdt, t + dt) – V(R,t)=V(R + Vdt, t + dt) – V(R,t + dt) + V(R, t + d) – V(R,t).
Por el teorema de Taylor, nuestra ecuación queda de la siguiente forma:

Ahora si nuestra ecuación la dividimos entre dt y dejamos que dt-----> 0
Lim (dV / dt) = (∂V/∂t) + (V.grad) V
Esto queda como según las propiedades:
(DV/Dt) = (∂V/∂t) + (V.grad) V

Coordenadas Cartesianas Rectangulares
El vector de velocidad está dado porV=(u,v,w) y sus longitudes elementales por (dx,dy,dz),
Grad = ѵ = [(∂/∂x), (∂/∂y), (∂/∂z)]
Por lo tanto:
D/Dt = ∂/∂t +u ∂/∂x + v ∂/∂y + w ∂/∂z…

Coordenadas cilíndricas polares:
X = rcosӨY=rsenӨ
Z=Z
Grad = [(∂/∂r), (∂/r∂Ө), (∂/∂z)]

Coordenadas Esféricas:
X= (rsenФ) cosӨ
Y= (rsenФ) senӨ
Z= rcosФ
Obtenemos D/Dt= (∂/∂t) + ur ∂/∂r + (uФ/r) (∂/∂Ф) + (uӨ/rsenФ)(∂/∂Ө)...