Homotecia

Homotecia

Una homotecia es una transformación afín que, a partir de un punto fijo, multiplica todas las distancias por un mismo factor. En general una homotecia de razón diferente de 1 deja unúnico punto fijo, llamado centro de la transformación.

Definición
Sea E un espacio vectorial sobre un cuerpo . Sea X un elemento (visto como un punto) de E. La homotecia de centro C y de razón k,denotada envía un punto M del espacio vectorial svergaobre el punto M' tal que:
(1a)

La ecuación anterior puede escribirse también como una transformación afín de la forma:
(1b)

La anteriorrelación puede escribirse vectorialmente en el plano como:

Donde: , y .
En tres o más dimensiones la fórmula anterior se generaliza trivialmente.
Homotecia, de centro el punto C y razón el número realk ≠ 0, es una transformación geométrica que hace corresponder a cada punto P otro punto P′ tal que (el vector es igual al resultado de multiplicar el vector por el número k). Si k es positivo, P′está en la semirrecta de origen C que pasa por P.

Propiedades
La homotecia es una trasformación lineal y por consiguiente conserva:
* el alineamiento: las imágenes de puntos alineados sonalineados: (A,B,C) y (A', B', C') en la figura
* el centro de un segmento, y más generalmente el baricentro: la imagen del baricentro es el baricentro de las imágenes. En la figura, B es el centro de[A;C] y por lo tanto B' es el de [A';C']
* el paralelismo: dos rectas paralelas tienen imágenes paralelas. En la figura (BE) // (CD) porque (BE) //(CD).
Además la homotecia conserva:
1.el cociente de longitudes: A'C'/B'E' = AC/BE en la figura
2. los ángulos orientados, en particular los ángulos rectos. Es obvio en la figura.
Más aún:
1. La imagen de una recta es otrarecta paralela.
2. Todas las longitudes son multiplicadas por |k|, el valor absoluto de la razón.
3. Si k ≠ 1, el centro de la homotecia es el único punto fijo (k = 1 corresponde a la...