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ESCALARES Y VECTORES Un escalar es una cantidad física que se caracteriza únicamente por su magnitud, tal como masa, tiempo, temperatura, densidad, energía, etc. Un vector es una cantidad física que se caracteriza simultáneamente por magnitud y dirección, tal como desplazamiento,  fuerza, momento, velocidad, etc. Un vector se  denota por: A y su magnitud es: A Operaciones con vectores

 Seaun vector y m un escalar, entonces el producto mA   con magnitud, mA y la misma dirección de A. Si m < 0   será un vector de magnitud mA y dirección opuesta a A  A   Dos vectores A y B   y se denota A  B
Paralelismo son paralelos si existe un escalar

Multiplicación de un vector por una escalar. es otro vector

 entonces mA  es decir, − A
  B = mA

m

tal que

  A Unvector unitario se denota como: e =  de tal manera que A ˆA A   se puede representar como: A = A e en donde e = 1 ˆA ˆA

Vector Unitario

  Dados dos vectores A y B la suma o resultante es un vector único que se    representará como C = A + B y que se determinará de la siguiente manera:    si el punto inicial de B se coloca en el punto terminal de A entonces la resultante C  es elvector cuyo punto inicial está en el punto inicial de A y cuyo final está en el  punto final de B   B A
   C = A+ B

Adición y sustracción de vectores.

    La diferencia A − B de dos vectores A y B    de tal manera que: C = A + − B

( )

es la suma entre

 A

y

 −B

La adición y sustracción de vectores tienen las propiedades siguientes: 1.2.3.4.5.6.-

    A+B = B+ A       A+ B+C = A+ B +C     m A + B = mA + mB    m + n A = mA + nA   A+0 = A   A+ −A = 0

Ley conmutativa. Ley asociativa. Ley distributiva. Ley distributiva escalar. Existencia del cero. Existencia del inverso aditivo.

(

) (

)

(

(

)

)

( )

Multiplicación de vectores.
Producto punto o producto escalar. El producto punto escalar (llamado aveces producto interno) de dos vectores

  es un escalar que se representa por A⋅ B (que se lee A punto B) y que está dado por   A⋅ B = A B cosθ   donde θ es el ángulo entre A y B y se tiene también que 0 ≤ θ ≤ π y θ = 180°.

 A

y

 B

 A

 Este producto punto se puede ver como la proyección del vector A   o la proyección del vector B sobre el A
    A⋅ B = B ⋅ A

θ  Bsobre el vector

 B

El producto punto o escalar tiene las siguientes propiedades: 1.Ley conmutativa.

2.3.4.-

       A⋅ ( B + C) = A⋅ B + A⋅ C Ley distributiva.       (mA) ⋅ B = A⋅ (mB) = m( A⋅ B) Ley Conmutativa escalar.   2 Multiplicación por sí mismo en producto punto. A⋅ A = A = A2
Producto punto entre dos vectores perpendiculares

Si dos vectores Punto escero.

 A

y

 B

son perpendiculares u ortogonales entre sí, su producto

  A⋅ B = 0
Producto cruz o producto vectorial.

  El producto cruz o vectorial (llamado a veces producto externo) de dos vectores A y B   es un vector que se representa como A × B (léase A cruz B) y que está dado por:   ˆ A × B = A B Senθ eµ   donde θ es el ángulo entre A y B y cumple la condición deque: 0 ≤ θ ≤ π y θ = 180°   es un vector unitario, tal que e ⊥ A y e ⊥ B simultáneamente. La dirección de ˆ eµ ˆµ ˆµ   ˆ eµ es la de avance de un tornillo de rosca derecha cuando A gira hacia B un ángulo θ.

El producto cruz tiene las siguientes propiedades:

    1.Ley anticonmutativa. A× B = −B × A        2.- A × ( B + C) = A × B + A × C Ley distributiva.       3.- (mA)× B = A × (mB) = ( A × B)m Ley Conmutativa escalar.   4.- A × A = 0 Multiplicación por sí mismo en producto cruz.   Problema 1.- Si A y B son vectores no paralelos tales que       C = (m + n − 1) A + (m + n) B y D = (m − n) A + (2m − n + 1) B   Hallar m y n tales que: C = 3D

       C = (m + n − 1) A + (m + n) B C = 3D = 3 ⎡(m − n) A + (2m − n + 1) B ⎤ ⎦   ⎣   (m + n −...