hugo

La criba de Eratóstenes es un algoritmo que permite hallar todos los números primos menores que un número natural dado n. Se forma una tabla con todos los números naturales comprendidos entre 2 y n,y se van tachando los números que no son primos de la siguiente manera: Comenzando por el 2, se tachan todos sus múltiplos; comenzando de nuevo, cuando se encuentra un número entero que no ha sidotachado, ese número es declarado primo, y se procede a tachar todos sus múltiplos, así sucesivamente. El proceso termina cuando el cuadrado del mayor número confirmado como primo es mayor quen.gggggggvvvvvvvCriba de EulerEditar

Una forma especial de la criba de Eratóstenes aplicada se puede encontrar en la demostración del producto de Euler para la función zeta de Riemann por parte de LeonhardEuler, y muestra una forma original de obtener dicho producto, utilizando una modificación de dicha criba. La función zeta de Riemann se representa como

\zeta(s) =1+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{4^s}+\frac{1}{5^s}+ \cdots
Multiplicando ambos miembros por \textstyle \frac{1}{2^s} se obtiene una nueva serie, y restando esta nueva serie a la serie original miembro a miembro y término atérmino, se eliminan todos los términos cuyas bases son múltiplos de 2 — En la criba de Eratóstenes se tachan —.

\left(1-\frac{1}{2^s}\right)\zeta(s) =1+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{5^s}+\frac{1}{7^s}+\frac{1}{9^s}+ \cdots
Repitiendo el mismo proceso sobre el siguiente término, \textstyle \frac{1}{3^s} , se eliminan todos los términos cuyas bases son múltiplos de 3:\left(1-\frac{1}{3^s}\right)\left(1-\frac{1}{2^s}\right)\zeta(s) = 1+\frac{1}{5^s}+\frac{1}{7^s}+\frac{1}{11^s}+\frac{1}{13^s}+ \cdots
Puede comprobarse que la parte de la derecha se está cribando, de manera que repitiendo esteproceso indefidamente:

\cdots \left(1-\frac{1}{11^s}\right)\left(1-\frac{1}{7^s}\right)\left(1-\frac{1}{5^s}\right)\left(1-\frac{1}{3^s}\right)\left(1-\frac{1}{2^s}\right)\zeta(s) = 1
se...