Inducción matematica

Inducción Matemática

La inducción matemática se utiliza para demostrar propiedades, formulas, validarlas y probar que son verdaderas.

Sea P(n) una proposición que depende dela variable n, con n perteneciente a los Naturales. Si:

• 1 satisface a P y, k pertenece a los Naturales,
• k satisface P! (k+1) satisface P,

Entonces todos los númerosnaturales satisfacen P.

Usaremos el Axioma de Inducción Matemática para demostrar la validez, en los Números Naturales, de ciertas proposiciones P que depende de una variable n,con n perteneciente a los Naturales.

Procederemos de la siguiente manera:

• Verificaremos la proposición para el numero 1.

• Supongamos que la proposición es verdadera paraun numero natural cualquiera k. (Hipótesis de inducción).

• Demostraremos la proposición para el numero natural (k+1).

Así, gracias al axioma de inducción Matemática,podemos concluir que la proposición la satisfacen todos los números naturales.

Ejemplo:

Demostremos que:

1+2+3+............+n = n(n+1), " n perteneciente a los naturales (*)2

• 1= 1(1+1). Por lo tanto 1 satisface la proposición (*)

2

• Supongamos valida la proposición (*) para k perteneciente a los Naturales, es decir supongamos que:1+2+3+.........+k = k(k+1). (Hipótesis de inducción).

2

• Demostremos que k - 1 también satisface la proposición (*), es decir, demostremos que:

1+2+3+.........+k+(k+1) =(k+1)(k+2).

2

Demostración:

(1+2+3+.......+k)+(k+1) = k(k+1) + (k+1)

2

= k(k+1)+2(k+1)

2

= (k+1)(k+2)

2

Luego la proposición (*) es verdadera "n pertenecientea los naturales.

En resumen, primero demuestras reemplazando el n por un 1, luego demuestras reemplazando el n por un k y finalmente lo demuestras reemplazando el n por (k+1)