inecuaciones





FACULTAD:
Ingeniería
CARRERA:
Ingeniería de Minas
CICLO:
I
CURSO:
Análisis I
TEMA:
1er- Avance de Trabajo Final
DOCENTE:
Carlos Budiel Diaz
INTEGRANTES:
Jhon Ronal Huaspa Alcca
Ruly TriviñoSupho
Umasi Mendigure Nilda Mery
Tomayconza Pandia Diego
-2014-
CALCULO DE VOLUMENES MEDIANTE EL METODO DEL DISCO Y LA ARANDELA
Calculo del volumen mediante el método de discoEste método consiste en hacer rotar nuestra función sobre algún eje para obtener un sólido de revolución que pueda modelarse como la sumatoria de discos. El área transversal de los discos será el área de un circulo, y el ancho será un. Es importante saber el eje de rotacion, ya que dependiendo de esto se encuentra o despeja la ecuación en función de la variable específicamente. Por ejemplo sirotaremos la función en el eje y, despejamos la función dependiendo de y. Siendo el ancho del disco. 
Por lo tanto,
 n = Cantidad de discos usados
Usualmente el radio del disco está dado por le función. Para estos casos, haciendo el numero de discos tender al infinito:

Ahora lo cambiamos a forma de integral (si  es el límite inferior y  es el límite superior):
.
En el caso de que el radio noeste dado por la función, debemos encontrarlo según las condiciones del problema dado.
De forma más general, el volumen será:
 (Si r está en función de x).

METODO DEL DISCO

A. El eje de rotación forma parte del contorno del área plana.

1. Se traza un diagrama indicando el área generatriz, una franja representativa perpendicular al eje de rotación, y su rectángulo genérico. 

2. Sehalla el volumen del disco producido en la rotación del rectángulo genérico alrededor del eje de rotación y la suma correspondiente a los n rectángulos. 

3. Se aplica la regla de Barrow o teorema fundamental del cálculo integrales suponiendo que el número de rectángulos crece indefinidamente.

Ejemplo
Hallar el volumen generado al girar el área limitada por la parábola  alrededor de laordenada correspondiente a x = 2.
Dividiendo el área mediante franjas horizontales, cuando el rectángulo genérico de la figura gire alrededor del eje y se procede un disco de radio 2 - x, de altura \Delta y y de volumen. El volumen pedido será:






El eje de rotación no forma parte del contorno del área plana

1. Se procede como en el apartado (1) anterior. 

2. Se prolongan los lados delrectángulo genérico, ABCD, hasta que corten al eje de rotación en E y en F. Cuando éste rectángulo gire alrededor del eje de rotación se produce un cilindro cuyo volumen es igual a la diferencia entre los volúmenes generados por los rectángulos EABF y ECDF al girar con respecto al mismo eje. Se halla la diferencia de éstos dos volúmenes y se procede como en el apartado (2) anterior. 

3. Seprocede como en el apartado (3) anterior. 
Ejemplo
Hallar el volumen generado en la rotación del área limitada por  y la ordenada correspondiente a x = 2 con respecto al eje y.

Dividiendo el área mediante franjas horizontales, cuando el rectángulo genérico de la figura gire alrededor del eje y, se produce un disco cuyo volumen es igual a la diferencia entre volúmenes generados al girar losrectángulos ECDF(de dimensiones 2 por  y EABF (de dimensiones x por  con respecto al eje , es decir, . El volumen que se desea encontrar será:






Encontrar el volumen del sólido obtenido al hacer girar la región limitada por 




Al hacer girar la figura sobre el eje Y, podemos "cortar" discos de altura  y el radio sería  , entonces:  
Al tener esto podemos ver que para encontrar elvolumen del disco es lo mismo que obtener el volumen a un cilindro.
Entonces: 


Con esto tenemos el volumen de un disco, y para encontrar el volumen total para n-discos: 


Para optimizar hacemos que  sea más grande, haciéndola tender al infinito: 


Con esto tenemos la forma de la integral de Riemann variando de 0 a 8. 


Resolviendo: 

Evaluamos: 


Ejemplo # 2




Estimar...