Infinit Simos

ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE NÁUTICA Y MÁQUINAS NAVALES / NAUTIKAKO ETA ITSASONTZI MAKINETAKO GOI ESKOLA TEKNIKOA
NOCIONES PRELIMINARES DE MATEMÁTICAS 
CÁLCULO DE LÍMITES MEDIANTE INFINITÉSIMOS
   Para ciertos límites la regla de L'Hôpital no es aconsejable, pues la cantidad de veces en que ésta debe ser aplicada para llegar al resultado final se convierte en excesiva. Como ejemplo, el alumnopuede tratar de hallar por L'Hôpital el límite:

límite que efectivamente puede ser hallado -pero tras un largo trabajo- mediante esta regla. Por el contrario, nuestro trabajo se simplifica notablemente si sustituimos en el denominador "sen x" por -lo que se llama infinitésimo equivalente-,  "x". Entonces, el límite se reduce a:

  A cuyo límite, transformado en más sencillo, podemos ahora aplicar laregla de  L'Hôpital: 

  (aquí hemos utilizado la relación trigonométrica:  sin(2x) = 2 sin x cos x  ), llegamos al resultado final aplicando la regla de L'Hôpital otras tres veces más:

 * NOCIÓN DE INFINITÉSIMOS EQUIVALENTES.
   Acabamos de utilizar la equivalencia:  sin x ~ x  (aquí el símbolo "~" significa "equivalente") cuando x -> 0. Una equivalencia que puede ser confirmada gráficamente:En la circunferencia trigonométrica consideramos un ángulo x muy pequeño (tendiendo a 0).
  Para un ángulo x muy pequeño, el seno (en rojo) y el valor de x (el arco verde) son los lados prácticamente de un triángulo isósceles, es decir, son prácticamente iguales.
  Por lo tanto, se da la relación:   sin x ~ x  en (0)  (léase "los infinitésimos sin x, x son equivalentes en el entorno de cero").Por entorno de 0, se entiende el conjunto de puntos próximos a 0, es decir, tomado un valor pequeño , se trata del intervalo (0-, 0+).
  Observe que no podemos hablar de infinitésimos equivalentes si no añadimos el entorno del punto en el que estas funciones son equivalentes. En nuestro ejemplo se trataba del entorno de 0.
   Matemáticamente se dice que dos funciones f(x) y g(x) son equivalentes en (a) si se cumple:

  (Observe que para que las funciones f(x) y g(x) cumplan la condición de arriba no necesariamente ambas deben tener el mismo límite en x=a,  pues por ejemplo en caso de dos límites 0, el cociente 0/0 es indeterminado, y no necesariamente 1). De cualquier manera, hay dos clases de funciones equivalentes que tienen interés en Matemáticas, son:
    *  Infinitésimos: funciones cuyo límite en  x = a es 0.
    *  Infinitos:  funciones cuyo límite en  x = a es + ó  -.
  ATENCIÓN: Aquí no estamos diciendo que todos los infinitésimos en el entorno de un punto son equivalentes. Lo que decimos es que aquellas funciones que en el entorno de un punto x = a son infinitésimos (porque su límite en a es 0) y además son equivalentes (porque el límite de f(x)/g(x) en a es 1) tienenespecial interés en Cálculo.
  Por ejemplo, en el entorno del punto x=0, son infinitésimos las funciones:

entre ellos podemos tomar algunos infinitésimos equivalentes:

 La nota de ATENCIÓN que hemos dicho arriba para infinitésimos también es válida para infinitos. Ejemplos de infinitos en el entorno del punto x=0,  son:

o ejemplos de infinitos en el entorno de infinito (cuando x tiende a +)son:

todos ellos tiene por límite infinito (en cualquiera de sus signos) en el infinito. Observe como todo polinomio es un infinito en el entorno de infinito. Y por ejemplo, en (+) se tiene

algo que pertenece a una regla general para funciones polinómicas en (+) : "En el infinito todo polinomio es equivalente a su término de máxima potencia":

* Cálculo de límitesmediante infinitésimos (o infinitos) equivalentes.
  Para calcular límites con indeterminaciones tipo 0/0,  / ,  podemos sustituir ciertos infinitésimos (o ciertos infinitos) por infinitésimos (o infinitos) equivalentes tal como vamos a ir viendo en los siguientes ejemplos:
 EJEMPLO 1:  Hallar mediante infinitésimos equivalentes el límite:

 El límite pedido está formado por el cociente de dos infinitésimos en (0), lo cual...