Ing de control

CRITERIO DE ESTABILIDAD DE ROUTH
Nos indica las raíces inestables en una ecuación polinomial, sin tener que obtenerlas en realidad. Este criterio de estabilidad solo se aplica a los polinomios, con una cantidad finita de términos. Cuando se aplica el criterio a un sistema de control, la información a cerca de la estabilidad absoluta se obtienedirectamente de los coeficientes de la ecuación característica.
El procedimiento en el criterio de estabilidad de Routh es el siguiente:
1) Escriba el polinomio en “s”
a0 + a1sn-1 +. . . + an-1s + an = 0

2) Si algúno de los coeficientes es cero o negativo, antes la presencia de al menos un coeficiente positivo, hay una raíz, o raíces imaginarias o que tienepartes reales positivas.
3) Si todos los coeficientes son positivos, ordene los coeficientes del polinomio en renglones y columnas de acuerdo con el patrón o arreglo siguiente:
sn ao a2 a4 a6 . . .
sn-1 a1 a3 a5 a7 . . .
sn-2 b1 b2 b3 b4 . . .
sn-3 c1 c2 c3 c4 . . .
. . .
. . .. . .
s2 e1 e2
Los coeficientes b1 ,b2 , b3 , etc. Se evalúan del modo siguiente:
b1= a1a2 - aoa3 / a1
b2= a1a4 - a0a5 / a1
b3= a1a6 - a0a7 / a1
La evaluación de las “b” continua hasta que todas las restantes son ceros. Se sigue el mismo patrón de multiplicación cruzada de los coeficientes de los dos renglones anteriores alevaluar las c, las d, las e, etc.
El criterio de estabilidad de Routh plantea que el numero de raíces de la ecuación con partes reales positivas es igual al número de cambios de signo de los coeficientes de la primera columna del arreglo. Las condiciones necesarias y suficientes para que todas las raíces de la ecuación se encuentren en el semi planoizquierdo del plano “s” es que todos los coeficientes de la ecuación sean positivos y que todos los términos de l primera columna del arreglo tengan signo positivo.
CASOS ESPECIALES
Si el termino de la primera columna de cualquier renglón es cero, pero los términos restantes no son ceros, o no hay términos restantes, el termino cero se sustituye con un numeropositivo muy pequeño Є y se evalua el resto del arreglo. Por ejemplo, considerando la ecuación
s3 + 2s2 + s + 2=0
El arreglo de coeficientes es:
s3 1 1
s2 2 2
s1 0 = Є
s0 2
Si el signo del coeficiente que esta encima del cero (Є) es igual al signo que está abajo de él, quiere decir que hay un par de raíces imaginarias. En la realidad, laecuación tiene dos raíces en “s” = +- j.
Sin embargo, si el signo del coeficiente que esta encima del cero (Є) es opuesto al del que esta abajo, quiere decir que hay un cambio de signo. Por ejemplo, para la ecuación
s3- 3s + 2 = (s-1)2(s+2)=0
El arreglo de coeficientes es
Un cambio de signo: s3 1 -3s2 0=Є 2
Un cambio de signo: s1 -3 - -2Є
s0 2
Hay dos cambios de signo en los coeficientes de la primera columna. Esto coincide con el resultado correcto indicando por la forma factorizada de la ecuación polinomial.
Si todos los coeficientes de cualquier renglón son ceros significa que existen raícesde igual magnitud que se encuentran radialmente opuestas en el plano “s”, es decir dos raíces con magnitudes iguales y signo opuesto y dos imaginarias conjugadas. En este caso, la evaluación del resto del arreglo continua mediante la formación de un polinomio auxiliar con los coeficientes del último renglón y mediante el empleo de dos coeficientes de la...