Ingenieria

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES

1. Consiste en elegir las coordenadas de un punto (x1, y1) como aproximación del punto de intersección de las funciones u(x, y)y v(x,y) que hacen que éstas se anulen.
2. Obtener los valores de las funciones u(x, y), v(x, y) valuadas con las coordenadas (x1, y1) y localizar los cuatro puntos u(x1, y), v(x1, y), u(x,y1) y v(x, y1).
3. Trazar una recta tangente paralela a la secante que une los puntos u(x1, y) y u(x, y1) y otra tangente paralela a la secante que une los puntos v(x1, y) y v(x, y1)4. El punto de intersección de estas dos tangentes constituye una segunda aproximación (x2, y2) del punto de intersección de las dos funciones
5. El proceso se repite n veces hasta que lascoordenadas del punto de intersección (xn, yn) coincida prácticamente con el valor exacto de la intersección entre las dos curvas.

-Este procedimiento corresponde, analíticamente, a extender el usode la derivada, ahora para calcular la intersección entre dos funciones no lineales.
-Al igual que para una sola ecuación, el cálculo se basa en la expansión de la serie de Taylor de primerorden, ahora de múltiples variables, para considerar la contribución de más de una variable independiente en la determinación de la raíz.
-Para dos variables, la serie de Taylor de primer orden seescribe, para cada ecuación no lineal:

Pero ui+1 = vi+1 = 0

Que reescribiendo en el orden conveniente:

Y cuya solución es

Donde J es el determinante jacobiano del sistema es:

Para lassiguiente ecuaciones deseamos Hallar un punto de Presiòn y volumen Usando el Metodo de NEWTON RAPHSON
F1(V,P)=PV3-((0,23733P)+(50.(0,4))V2+(0,034145V)-(0,034145.0,23733)(ec. De Van Der Walls)∂F1V,P∂x= 3PV2-2.((0,23733P)+(50.(0,4))V+(0,034145)
∂F1V,P∂y= V3-(0,23733)V2
F2(V,P)= (P-6)/7,1613+(0,050968.(0,8).(V2))-1 (ec. De Bernoulli)
∂F2V,P∂x=2.(0,050968.(0,8).(V))
∂F2V,P∂y=17.1613...