ingeniero

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PROGRAMACIÓN LINEAL

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REFLEXIONA Y RESUELVE
Resolución de inecuaciones lineales
■

Para representar y – x Ì 2, representa la recta y – x = 2. Después, para decidir a cuál de los dos semiplanos corresponde la inecuación, toma un punto cualquiera exterior a la recta y comprueba si sus coordenadas verifican o no la desigualdad.
y–xÌ2
1
1

■

Representa, de forma análoga,las siguientes inecuaciones:
b) x + 2y Ì 16

a) x + 5y > 10

c) 2x + y Ì 20

a)
x + 5y > 10
1
1

b)

x + 2y Ì 16
1
1

c)

2x + y Ì 20
2
2

Unidad 4. Programación lineal

1

Resolución de sistemas de inecuaciones
■

Representa el recinto formado por las siguientes condiciones:
°y–xÌ2
§ x + 5y Ó 10
¢ x + 2y Ì 16
§
£ 2x + y Ì 20

x
–

20

y

y=

=

2+
2x

x+

x + 5y
= 10

2y
=

16

1
1

Inecuaciones en el mercado de frutas
Un comerciante acude al mercado a comprar naranjas. Dispone de 2 000 € y en
su furgoneta caben 1 400 kg.
En el mercado disponen de naranjas de tipo A a 1,10 € y de tipo B a 1,60 €. Él las
podrá vender a 1,20 € las de tipo A y a 1,75 € las de tipo B, y se cuestiona cuántos kilogramos de cada tipodebería comprar para conseguir que los beneficios
sean lo más altos posible.
a) Si se gasta todo el dinero en naranjas de tipo B, ¿cuántos kilos le caben aún en
su furgoneta?
b) Si llena la furgoneta con naranjas de tipo A, ¿cuánto dinero le sobra? ¿Cuál
será el beneficio?
c) ¿Cuál será el beneficio si compra 400 kg de naranjas de tipo A y 300 kg de
tipo B?
a) Puede comprar 2 000 : 1,60 = 1 250kg de naranjas de tipo B.
En la furgoneta le caben aún 1 400 – 1 250 = 150 kg.
b) Se gasta 1 400 · 1,10 = 1 540 €.
Le sobran 2 000 – 1 540 = 460 €.
Beneficio = 1 400 · (1,20 – 1,10) = 140 €
c) Beneficio = 400 · (1,20 – 1,10) + 300 · (1,75 – 1,60) = 85 €

2

Unidad 4. Programación lineal

UNIDAD

4

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1. Representa la región definida por el siguiente sistema deinecuaciones:
x Ó 0, y Ó 3, x + y Ì 10, 2y Ó 3x
Averigua en qué puntos se hace máxima y mínima la función F (x, y) = 4x + 3y.
Representamos las rectas y vemos en qué puntos se cortan:

y

10

C
y=3

A

D

1
1

10

4x + 3y = 0

2y = 3x °
¢ D(2, 3)
y=3
£

F (A) = F (0, 3) = 9

F (B) = F (0, 10) = 30

F (C ) = F (4, 6) = 34

=

°
x=0
B(0, 10)
x + y = 10 ¢
£

x + y = 10°
¢ C(4, 6)
2y = 3x
£

x

+

=3

x

2y

B

x=0 °
A(0, 3)
y=3¢
£

F (D) = F (2, 3) = 17

F (x, y) = 4x + 3y se hace mínima en A(0, 3) y
máxima en C(4, 6).

2. Representa el recinto definido por estas inecuaciones:
x Ó 0, y Ó 0, x Ì 10, x Ì y, y – 2x Ì 6, 3x + 4y Ó 35
¿En qué punto la función F (x, y) = 10x + 15y alcanza el valor máximo?
Representamos las rectas y vemosen qué puntos se cortan:
D

°
y – 2x = 6
A(1, 8)
3x + 4y = 35 ¢
£

y–

2x

x = 10

=6

3x + 4y = 35 °
¢ B(5, 5)
x=y
£
x=y °
C(10, 10)
x = 10 ¢
£
°
x = 10
D(10, 26)
y – 2x = 6 ¢
£
C

A

F (B) = F (5, 5) = 125

F (C ) = F (10, 10) = 250

F (D) = F (10, 26) = 490

x

=

y

F (A) = F (1, 8) = 130
B

3x
1

+

4y

1

=

Representamos después ladirección de las rectas
que son de la forma 10x + 15y = K.
35

10x + 15y = 0

Unidad 4. Programación lineal

F (x, y) = 10x + 15y alcanza el valor máximo en el
punto D(10, 26).

3

3. En una confitería se elaboran tartas de NATA y de MANZANA. Cada tarta de nata
requiere medio kilo de azúcar y 8 huevos; y una de manzana, 1 kg de azúcar y
6 huevos. En la despensa quedan 10 kg deazúcar y 120 huevos.
¿Cuántas tartas de cada tipo se deben hacer si pretendemos que los ingresos
por su venta sean máximos?
Considera estos casos:
a) Sus precios son: nata, 12 €; manzana, 15 €.
b) Sus precios son: nata, 16 €; manzana, 12 €.
c) Sus precios son: nata, 15 €; manzana, 10 €.
CANTIDAD

(kg)

AZÚCAR

x

8x

(1/2)x

MANZANA

Anotamos los datos en una tabla:

HUEVOS...