Ingeniero

PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES
El producto escalar de dos vectores es un número real que resulta al multiplicar
el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman si los vectores
s o n n o nu l o s y c e r o s i u n o d e l o s d o s ve c t o r e s e s n u l o .

si

 Como

s o n n o nulo s

si

0

o
o

;

es el vector nulo

s o n n ú m er o s r e a l e s e lpr o d u c to e s c a l a r d e d os v e c t o r e s

e s u n n ú m er o r e a l qu e p u e d e s e r p o s i tiv o , n e g a t i v o o n u l o .
 E l p r o d u c t o e s c a l a r e s n u l o e n e l c a s o d e q u e l o s v e c t o r e s s e a n p e r p e n d i c ul a r e s
u o r t o g o n a l e s y a q ue e n t o n c e s

I nterpretación geométrica del producto escalar
El valorabsoluto del producto escalar de dos vectores no nulos es igual al
m ó d u l o d e u n o d e e ll o s p o r l a pr o y e c c i ó n d e l o tr o s ob r e é l .
En

la

figura

vectores

se

representan

dos

. A l pr o y ec t a r e l v e c t o r

s o b r e l a dir e c c i ó n d e l v e c t or
obtiene el vector

, se

cuyo módulo

c o i n c i d e c o n l a m ed i d a d e l s e g me n t o
OA´.
Se cumple:

Teniendo en cuenta:
O A ´ = pr o y d e

sobre

=

Entonces

Nenina Martín Ossorio
Matemáticas II 1

Ejemplo
H a l l a r l a pr o y e c c i ó n d e l v e c t or

= ( 2 , 1) s ob r e e l v e c t o r

= (−3, 4).

P ropiedades del producto escalar
1Conmutativa

2 Homogénea

3 Distributiva del producto escalar respecto de la suma en V 3

4 E l p ro d u c t o e s c a l a r d e u n v e c t o r no n u l o p o r s í m is m o s i e m p r e e s p o s i ti v o .

A lgunas bases especiales

B as e n o r m a d a
u3

B as e o r t o g o n a l

u2

u3

Base ortonormal

u2
u3

u1
V e c t o r e s u n i t ar i o s

u1
Vectores ortogonales

u2

u1
Vectores unitarios
y ortogonales

Nenina Martín Ossorio
Matemáticas II 2E xpresión analítica del producto escalar
Sea

u n a b as e c ua l q u i er a d e l e s p a ci o

V3

y

d o s v e c t o r es

c u a l e s q u i er a . C o m o c a d a v e c t o r s e de s c o m p o n e d e m o d o ú n i c o e n f u n c i ó n d e l o s
v e c t o r e s d e l a b as e , s e t i e n e :
y
A p l i c a n d o l a s pr o p ie d a d e s d e l pr o du c t o e s c a l a r , re s u l t a:

E s t a e x p r e si ó n s e si m p l i f i c a e n e l c as o d e qu e l a b as e s e a d e c i er t o s t i p os :


S i l a b a s e B e s n o rm a d a ( v e c t o r e s u n it a r i o s)
ya que cos 0 = 1
ya que cos 90 = 0



S i l a b a s e B e s o r t o g o n a l ( v e c t o r e s pe r p e n d i c u l ar e s)
; cos 0 = 1



S i l a b a s e B e s o r t o n o r ma l ( v e c t o r e s u n i t a r i o s y p er p e n di c u l a r es )

Nenina Martín Ossorio
Matemáticas II 3

PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES
E l p r o d u c t o v e c t o r i a l d e d o s v e c t o re s e s o t r o v e c t o r
o
1º Si

y

q u e s e d e si g n a p o r

y q u e s e o b t i e n e d e l s i gu i e n t e m o d o :
son dos vectores no nulos y no proporcionaleses un vector

de:




D i r e c c i ó n e s p e r p en d i c u l a r a l o s d o s ve c t o r e s


2º Si

M ó d u l o e s i g u a l a:
S e n t i d o i g u a l a l a v an c e d e u n s a c a c o r ch o s a l g ir ar d e
ó

ó

y

a

.

s o n p r o p o r ci o n a l e s s e ti e n e q u e

x

Interpretación geométrica del producto vectorial
G e o m é t r i c a m e n te , e l m ó d u l o d e l p r o d u c t o v e c t o r i a l d e d o s v e c t o r e s c o i n c id e
c o n e l á r e a d e l p a ra l e l o g r a m o q u e t i e ne p o r l a d o s a e s os v e c t o r e s .


El

área

del paralelogramo es el

producto de la base por la altura

Nenina Martín Ossorio
Matemáticas II 4

Propiedades del producto vectorial
1. Anticonmutativa

2....