Int Impropia

Tema 11

Integrales impropias.
11.1

Introducci´
on.

En el tema anterior se ha definido la integral de Riemann con las siguientes hip´otesis
Dom(f ) = [a, b] es un conjunto acotado.
f : [a, b] −→ IR est´a acotada en [a, b].
Si alguna de estas condiciones no se cumple denominaremos a la integral correspondiente
integral impropia.

11.2

Integrales impropias de primera especie.

Definici´
on 11.1– Sea f : [a, +∞) −→ IR integrable en [a, t], para todo t ≥ a, y sea
F : [a, +∞) −→ IR la funci´on definida por F (t) =

t

a

f (x)dx.

El par (f, F ) se denomina integral impropia de primera especie en [a, +∞) y se designa
por

+∞
a

+∞

f (x)dx ´o

a
+∞

Definici´
on 11.2 – Diremos que la integral impropia

a

finito

t

lim F (t) = lim

t→+∞

t→+∞ a

f.

f (x)dx es convergente si existe y es

f(x)dx

y si ese l´ımite es L se dice que el valor de la integral impropia es L. Es decir,
L=

+∞
a

f (x)dx.

Si el l´ımite anterior es infinito se dice que la integral impropia es divergente, y si no existe se
dice que es oscilante.
De forma an´aloga se definen las integrales impropias de primera especie en intervalos de la
forma (−∞, b] para funciones f : (−∞, b] −→ IR integrables en [t, b],para todo t ∈ IR, y las
representamos por
b

−∞

b

f (x)dx ´o

−∞

f.

Definici´
on 11.3 – Sea f : IR −→ IR integrable en todo intervalo cerrado de IR. Diremos que
+∞

−∞

f (x)dx es convergente si existe alg´
un a ∈ IR tal que las integrales
a
−∞

Integral de una variable.

f (x)dx y

+∞
a

f (x)dx,
126

11.2 Integrales impropias de primera especie.

son ambas convergentes. En ese caso su valores
+∞
−∞

a

f (x)dx =

−∞

+∞

f (x)dx +

f (x)dx.

a

Definici´
on 11.4 – Diremos que dos integrales impropias tienen el mismo car´
acter, y lo representaremos por “∼”, si son simult´aneamente convergentes, divergentes u oscilantes.
Propiedades 11.5 –
a) Sea f : [a, +∞) −→ IR integrable en [a, t] para todo t ≥ a y sea b ≥ a. Entonces
+∞
a

+∞

f (x)dx ∼

b

f (x)dx.

Demostraci´on:
Como
lim

tt→+∞ a

b

f (x)dx = lim

t→+∞

a

t

f (x)dx +

b

b

f (x)dx =

a

t

f (x)dx + lim

f (x)dx

t→+∞ b

el l´ımite de la izquierda es finito, infinito o no existe si el l´ımite de la derecha es finito,
infinito o no existe respectivamente. Y viceversa.
An´alogamente si f : (−∞, b] −→ IR es integrable en [t, b], ∀ t ∈ IR y a ≤ b, entonces
b
−∞

a

f (x)dx ∼

−∞

f (x)dx.

b) Sean f, g: [a, +∞) −→ IRintegrables en [a, t], ∀ t ≥ a. Si
+∞

convergen, entonces

a
+∞
a

+∞
a

f (x)dx y

+∞
a

g(x)dx

(f + g)(x)dx converge. En cuyo caso,

(f + g)(x)dx =

+∞
a

+∞

f (x)dx +

a

g(x)dx.

Demostraci´on:
Basta considerar que

lim

t

t→+∞ a

(f + g)(x)dx = lim

t

t→+∞ a

segundos l´ımites existen.

f (x)dx + lim

t

t→+∞ a

g(x)dx, si los

c) Sea f : [a, +∞) −→ IR integrable en [a, t], ∀ t ≥ a y λ ∈IR, con λ = 0. Entonces
+∞
a

f (x)dx ∼

+∞
a

λf (x)dx.

Demostraci´on:
Como lim

t

t→+∞ a

λf (x)dx = λ lim

infinitos o no existen.

t

t→+∞ a

f (x)dx, ambos l´ımites son simult´
aneamente finitos,

Observaciones:

Integral de una variable.

127

11.2 Integrales impropias de primera especie.

a) Sea f : IR −→ IR integrable en todo intervalo cerrado de IR. El car´acter de
no depende del puntoa dado en la definici´on.

+∞
−∞

f (x)dx

En el caso de que la integral sea convergente su valor no depende tampoco del punto
elegido ya que, para cualquier b ∈ IR,
a
−∞

∞

f+

a

f=

b
−∞

f+

a
b

f+

b
a

f+

∞
b

f=

b
−∞

b) Sea f : IR −→ IR integrable en todo intervalo cerrado de IR. Si
+∞

entonces

−∞

f+
∞
−∞

∞
b

f.

f es convergente,

t
f.
t→+∞ −t

f = lim

La implicaci´on contrariaes falsa. Es decir, puede existir el l´ımite y la integral ser divergente.
+∞

Contraejemplo.-

−∞

∞

2xdx no es convergente, pues
t

2xdx = lim

t→+∞ 0

0

2xdx = lim x2
t→+∞

t
0

= lim t2 = +∞
t→+∞

es divergente, sin embargo
lim

t

t→+∞ −t
t

Al valor del lim

t→+∞ −t
+∞

por V P

2xdx = lim x2
t→+∞

t
−t

= lim t2 − (−t)2 = 0.
t→+∞

f (x)dx se le denomina Valor Principal de Cauchy, y...