INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES SEMANA 5 6 1

TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
CARRERA DE INGENIERÍA CIVIL

Mgs. Miguel Maldonado Amaya. Ing.

INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES
𝒑(𝒙)

Cuando la función racional 𝒒(𝒙) es una fracción propia, o sea queel grado del
numerador es menor que el grado del denominador, se recomienda usar el
método de fracciones parciales.
REGLA GENERAL
𝒑(𝒙)

Sea 𝒒(𝒙) una fracción propia. Entonces:

1. Se podrá expresar entanto fracciones parciales como factores tenga el
denominador 𝑞 𝑥 .
2. Cada denominador de las fracciones parciales es un factor de 𝑞 𝑥 .

3. El numerador de cada fracción parcial será un polinómicode un grado
menor a su denominador.

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CASO І: 𝑞(𝑥) se descompone en factores lineales diferentes
Ejemplo

Calcular

5𝑥+3
𝑥 3 −2𝑥 2 −3𝑥

𝑑𝑥

𝑞 𝑥 → 𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑒𝑛 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠

5𝑥 + 3
5𝑥 + 3
5𝑥 + 3
=
=
𝑥 3 − 2𝑥 2 − 3𝑥
𝑥(𝑥 2 − 2𝑥 − 2)
𝑥(𝑥 − 3)(𝑥 + 1)
𝑞(𝑥)

5𝑥 + 3
𝐴
𝐵
𝐶
= +
+
𝑥(𝑥 − 3)(𝑥 + 1) 𝑥 𝑥 − 3 𝑥 + 1

p 𝑥 → 𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑞(𝑥)

Nota: Para encontrar losvalores de A,B y C se evalúa la última expresión
en las raíces de 𝑞 𝑥 : o sea x=0; x=3; y x=-1

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CASO ІІ: En 𝑞(𝑥) hay factores lineales repetidos
Ejemplo

Calcular

3𝑥2 −8𝑥+13
(𝑥+3)(𝑥−1)2

𝑑𝑥

𝑞 𝑥 → ℎ𝑎𝑦 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑝𝑒𝑡𝑖𝑑𝑜𝑠

3𝑥 2 − 8𝑥 + 13
𝐴
𝐵
𝐶
=
+
+
(𝑥 + 3)(𝑥 − 1)2 (𝑥 + 3) 𝑥 − 1 (𝑥 − 1)2

𝑓𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑐𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠

Nota: Para encontrar los valores de A,B y C se evalúala última expresión
en las raíces de 𝑞 𝑥 : o sea x=-3; x=1; y x=0(usamos ya que no se dispone
de otra raíz)

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CASO ІІІ: En 𝑞(𝑥) hay factores cuadráticosirreducibles
Ejemplo

Calcular

5𝑥 2 +2
𝑥 3 −4𝑥 2 +5𝑥

𝑑𝑥

𝑞 𝑥 → ℎ𝑎𝑦 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 cuadráticos irreducibles

5𝑥 2 + 2
5𝑥 2 + 2
𝐴 𝐵 2𝑥 − 4 + 𝐶
=
= + 2
3
2
2
𝑥 − 4𝑥 + 5𝑥 𝑥(𝑥 − 4𝑥 + 5) 𝑥
𝑥 − 4𝑥 + 5

𝑓𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠𝑝𝑎𝑟𝑐𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠

Nota: Para encontrar los valores de A,B y C se evalúa la última expresión
en las raíces de 𝑞 𝑥 : o sea x=0; x=2 y x=1(usamos ya que no se dispone
de otra raíz)

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