Integración numérica

NUMERICAL INTEGRATION
CUADRATURA DE GAUSS EXTENDIDA
Para la deducción de las fórmulas de integración necesitamos ciertos hechos acerca de los polinomios de Legendre, los cuales están definidospor:
{draw:frame} {draw:frame}
Las propiedades básicas de los polinomios de Legendre son las siguientes:
2.- {draw:frame} {draw:frame}
3.- {draw:frame} {draw:frame}
4.- El polinomio deLegendre Pn(x), tiene n raíces reales distintas en (-1, 1).
Los cinco primeros polinomios de Legendre son:
{draw:frame} {draw:frame}
{draw:frame} {draw:frame}
{draw:frame} {draw:frame}{draw:frame} {draw:frame}
{draw:frame} {draw:frame}
{draw:frame} {draw:frame}
Los polinomios de grado superior, pueden ser obtenidos mediante la fórmula de recursión:
Pk+1x= 2k+1k+1Pk(x)- kk+1Pk-1(x) k= 1,2,3,…..
Deduciremos ahora la fórmula de cuadratura de Gauss. Consideremos primeramente una función y = f(x) continua en {draw:frame} {draw:frame} . El caso general puedereducirse fácilmente a éste, mediante una sustitución lineal de la variable independiente.
¿Cómo elegir los puntos x1, x2,…, xn y los coeficientes a1, a2,….,an de forma que la fórmula de cuadratura:
seaexacta para todos los polinomios f(x) de grado n tan elevado como sea posible?
Como contamos con 2n constantes xi y ai (i = 1, 2,…, n), un polinomio de grado 2n -1 queda determinado. Para asegurarla ecuación (1) es necesario y suficiente que sea válida para:
{draw:frame} {draw:frame}
En efecto, estableciendo
Obtenemos:
{draw:frame} {draw:frame}
= {draw:frame} {draw:frame}
Lafórmula (2) origina el siguiente sistema:
(3) {draw:frame} {draw:frame}
que no es lineal y su resolución es muy complicada por los métodos tradicionales de la matemática. Sin embargo utilizamosel siguiente artificio.
Consideremos los polinomios:
donde Pn(x)son los polinomios de Legendre. Como los grados de estos polinomios no exceden 2n -1, entonces la fórmula (1) deberá ser cierta...