INTEGRACION POR EL METODO DE LOS RESIDUOS

Semana 13 - Clase 38

Tema 6: Variable Compleja

Integraci´
on por el m´
etodo de los residuos
1.

Introducci´
on

Las expansiones de funciones en series de potencias dejan “residuos” al detener la expansi´
on a
para una determinada potencia. Esto se puede apreciar claramente en la expresi´on de Taylor para
funciones anal´ıticas. Ahora, las expansiones de Laurent nos muestran otro “residuo”.Explotaremos
las series de Laurent para funciones con polos y construiremos un m´etodo para evaluar integrales
de funciones en esos puntos. Primero estudiaremos los residuos en general y luego los utilizaremos
para evaluar integrales.

2.

Los residuos de Laurent
Hemos dicho que si f (z) tiene un polo de orden p en z = z0 ∈ R, entonces
∞

ak (z−z0 )k =

dz f (z) = 0 ⇒ f (z) =
C

n=−∞

a−p
a−p+1
a−1
++· · ·+
+a0 +a1 (z−z0 )+a2 (z−z0 )2 +· · ·
p
p−1
(z − z0 ) (z − z0 )
(z − z0 )

m´as a´
un, tendremos que los coeficientes de la expansi´on pueden ser calculados a partir de
an =

1
2iπ

C

f (ζ) dζ
(ζ − z)n+1

n = 0, ±1, ±2, · · ·

si n = −1

⇒

f (ζ) dζ = 2iπa−1 ≡ 2iπRes f (z)
C

(1)
Es decir, la integraci´
on a lo largo de un contorno C que aisle al polo z = z0 es proporcional al residuocorrespondiente a la expansi´
on de Laurent alrededor de ese polo. Nos queda entonces calcular el
residuo para as´ı no calcular la integral.
Esta situaci´
on se ilustra con el siguiente ejemplo. Supongamos
f (z) =

sen z
1
= 4
4
z
z

z−

z3 z5
+
+ ···
3!
5!

=

1
1
z
−
+ + ··· ,
3
z
3!z 5!

por lo tanto:
a−1 = −

1
3!

f (ζ) dζ = 2iπa−1 = −

⇒
C

iπ
3

En general, si f (z) tiene un polo de orden p en z= z0 ∈ R, entonces
dp−1
(z−z0 ) f (z) = a−p +a−p+1 (z−z0 )+· · ·+a0 (z−z0 ) +· · · ⇒ p−1 [(z−z0 )p f (z)] = (p−1)!a−1 +
dz
p

∞

p

bn (z−z0 )n

n=1

con lo cual concluimos que
a−1 ≡ Res f (z) = l´ım

z→z0

H´ector Hern´
andez / Luis N´
un
˜ez

1
dp−1
[(z − z0 )p f (z)]
(p − 1)! dz p−1
1

(2)

Universidad de Los Andes, M´erida

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Tema 6: Variable Compleja

Si, por ejemploconsideramos

f (z) =

eiz
eiz
≡
(z 2 + 1)2
(z + i)2 (z − i)2

⇒

z0 = i ⇒

eiz
d
d
[(z − i)2 f (z)] =
dz
dz (z + i)2





 z0 = −i ⇒

d
eiz
d
[(z + i)2 f (z)] =
dz
dz (z − i)2








con lo cual
Res

eiz
(z 2 + 1)2

eiz
(z + i)2 ieiz − eiz 2(z + i)
−4ie−1 − −4ie−1
1 d
i
=
l´
ım
=
=−
2
2
z→i
z→i 1! dz (z + i)
(z + i)
16
2e

= l´ım
i

del mismo modo se procede para el caso z = −i
Un casoparticular y muy u
´til lo constituyen las funciones racionales del tipo f (z) =

p(z)
y
q(z)

f (z) tiene un polo simple en z = z0 . Esto es q(z0 ) = 0 entonces
Res f (z)|z0 = l´ım

z→z0

p(z0 )
(z − z0 )
(z − z0 )p(z)
= p(z0 ) l´ım
=
z→z
q(z)
q(z)
q (z0 )
0

(3)

porque hemos utilizado el Teorema de L’Hopital. Este caso lo podemos ejemplificar si consideramos
una funci´on

4 − 3z


= −4
z = 0 ⇒Res f (z)|z=0 =


2z − 1 z=0

4 − 3z
4 − 3z
f (z) = 2
≡
con polos en
(4)

z −z
z(z − 1)

4
−
3z


=1
 z = 1 ⇒ Res f (z)|z=1 =
2z − 1 z=1

3.

Teorema del Residuo

3.1.

Integrales impropias del tipo

∞
−∞

dx f (x)

Hemos visto como calcular las integrales de funciones, en regiones m´
ultiplemente conexas, con
polos simples a partir de residuos. Ahora generalizaremos ese esquema para unaregi´on, tambi´en
m´
ultiplemente conexa, pero con un n´
umero finito de polos. Tal y como se muestra en la figura 1 en
el cuadrante II, realizamos una circulaci´on ingeniosa, de tal modo que aislamos los distintos polos.
Ahora bien, como la funci´
on es anal´ıtica en la regi´on bordeada por todos esos contornos, entonces
dz f (z) +
C

dz f (z) + · · ·

dz f (z) +
C1

C2

dz f (z) = 0
Cm

y alcambiar el sentido de circulaci´
on comprobamos lo que ya sab´ıamos
m

dz f (z) =
C

dz f (z) + · · ·

dz f (z) +
C1

C2

H´ector Hern´
andez / Luis N´
un
˜ez

dz f (z)
Cm

⇔

dz f (z) = 2iπ
C

2

Res f (z)z=z0j
j=1

Universidad de Los Andes, M´erida

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Tema 6: Variable Compleja

Figura 1: Expansi´on de Laurent

donde hemos utilizado lo que hicimos para la ecuaci´on (1)
Con...