Metodos De Integracion

Integración por partes
El método de integración por partes permite calcular la integral de un producto de dos funciones aplicando la fórmula:

Las funciones logarítmicas, "arcos" y polinómicas se eligen como u.
Las funciones exponenciales y trigonométricas del tipo seno y coseno, se eligen como v'.
Desde un punto de vista didáctico se recomienda escoger la función u de acuerdo con el orden:
1.Trigonométrica Inversa
2. Logarítmica
3. Algebraica o polinómica
4. Trigonométrica
5. Exponencial.
Otra recomendación sería cambiar el orden de trigonométrica y exponencial. Si seguimos esta otra recomendación podemos usar la regla mnemotecnia ALPES, asignándole el puesto de u de acuerdo con el orden de aparición:
1. Arco seno(y cualquier trigonométrica inversa)
2. Logarítmica
3. Polinómica
4.Exponencial
5. Seno/coseno(y cualquier trigonométrica)



Integración directa
En ocasiones es posible aplicar la relación dada por el teorema fundamental del cálculo de forma directa. Esto es, si se conoce de antemano una función cuya derivada sea igual a f(x) (ya sea por disponer de una tabla de integrales o por haberse calculado previamente), entonces tal función es el resultado de la antiderivada.La integración directa requiere confeccionar una tabla de funciones y sus antiderivadas o funciones primitivas.




















Cambio de variable
El método de integración por sustitución o por cambio de variable se basa en realizar un reemplazo de variables adecuado que permita convertir el integrando en algo sencillo con una integral o anti derivada simple. En muchos casos, donde lasintegrales no son triviales, se puede llevar a una integral de tabla para encontrar fácilmente su primitiva. Este método realiza lo opuesto a la regla de la cadena en la derivación.




Integración de funciones racionales
Vamos a integrar funciones racionales (cociente de polinomios), que siguen la forma:

a) Si el grado de P(x) es mayor o igual que el grado de Q(x).
En este caso se divide P(x) entreQ(x), pasando la integral a:

Se reduce a calcular la integral de un polinomio c(x) y la integral de una función racional en la cual el numerador tiene grado menor que el denominador (está última integral es la que nos queda por calcular).
 
A continuación describiremos varios casos de descomposición de fracciones racionales (en las que el polinomio del numerador tiene grado menor que eldenominador) como una suma de fracciones parciales, fáciles de integrar.
b) Si el grado de P(x) es menor que el grado de Q(x).
Una fracción simple es cualquier fracción propia de polinomios (el grado del numerador es estrictamente menor que el grado del denominador), cuyo denominador es de la forma (ax + b)n ó (ax2 + bx + c)n
b.1) Q(x) tiene todas sus raíces reales y distintas:
La factorización delpolinomio Q(x) es en factores lineales y distintos:
Q(x) = (x-a1)(x-a2)(x-a3)…(x-an), hacemos la siguiente descomposición:
         con A1, ...An constantes reales. 
 
b.2) Q(x) tiene todas sus raíces reales, pero puede haber repetidas:
La factorización del polinomio Q(x) es en factores lineales no necesariamente distintos, es decir: 
Q(x) = (x-a1)m1(x-a2)m2(x-a3)m3…(x-an)mn
 
De nuevo como en el casoanterior la integración de las fracciones parciales es sencilla y se reduce a calcular integrales de la forma:

las cuales, para n > 1, se resuelven por un sencillo cambio de variable.
  
b.3) Q(x) tiene raíces complejas distintas:
Cuando en la factorización del polinomio Q(x) aparecen factores cuadráticos de la forma: 
ax2 + bx + c       con      b2 - 4ac < 0
a cada uno de estos factores lecorresponde una fracción parcial de la forma:
donde A y B son constantes reales. 
b.4) Q(x) tiene raíces complejas repetidas:
Cuando en la factorización del polinomio Q(x) aparecen factores cuadráticos de la forma:
(ax2 + bx + c)n       con      b2 - 4ac < 0
 a cada uno de estos factores le corresponden n fracciones parciales de la forma 
con Ak, Bk constantes reales (k=1, ..n)














Integración...