Integral definida

Integral Definida y Aplicaciones

LA INTEGRAL DEFINIDA Y SUS APLICACIONES
Autores: Paco Martínez (jmartinezbos@uoc.edu), Patrici Molinàs (pmolinas@uoc.edu), Ángel A. Juan (ajuanp@uoc.edu).

ESQUEMA DE CONTENIDOS

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Aplicaciones

Integral Definida

Aritmética
El problema del área Integral de Riemann Áreas Volúmenes

Funciones Escalonadas

Método de ExhauciónRegla de Barrow

Sólidos de Revolución

Propiedades

Bajo una función

Entre dos funciones

Proyecto e-Math Financiado por la Secretaría de Estado de Educación y Universidades (MECD)

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INTRODUCCIÓN

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En este math-bock trataremos el problema del cálculo del Área y su importancia en otras ramas de la ciencia para laresolución de situaciones reales, tales como puede ser el cálculo del espacio recorrido por un móvil en Física. Le daremos un enfoque histórico y veremos algunos ejemplos que surgieron hace más de 2.000 años, cuando los griegos inventaron el método de exhaución para calcular áreas de figuras planas. Veremos la relación que hay entre el área y la integral definida y la regla de Barrow, conexión entre elCálculo Diferencial y el Cálculo Integral. Calcularemos también volúmenes de revolución, además de áreas, por medio de integrales definidas.

OBJETIVOS
1. 2. 3. 4. 5. 6. Conocer y aplicar el método de exhaución.

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Calcular integrales definidas de funciones escalonadas y saber sus propiedades. Calcular el área encerrada por una función y el eje OX en un determinadointervalo. Hallar la superficie encerrada entre dos curvas. Saber utilizar la regla de Barrow para calcular integrales definidas y conocer la relación entre las derivadas y las integrales. Calcular volúmenes de revolución engendrados por el giro alrededor del eje OX del recinto limitado por una o dos funciones.

CONOCIMIENTOS PREVIOS

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A fin de poderaprovechar al máximo esta unidad es recomendable tener conocimientos básicos sobre funciones de una variable, derivación e integración indefinida, y uso del programa Mathcad.

CONCEPTOS FUNDAMENTALES
El problema del cálculo del área

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Uno de los problemas que más repercusión ha tenido en la historia de las matemáticas es el del estudio del área encerrada bajo unacurva, pues tiene una aplicación inmediata en algunos problemas de física. Ejemplo: Consideremos un cuerpo que se mueve con una velocidad constante de 3m/s. La gráfica velocidad-tiempo del cuerpo es la representada en el dibujo. Calcular el espacio recorrido por el cuerpo entre t = 0 y t = 6, con las fórmulas de física conocidas. Estudiar la relación que existe entre este resultado y el áreaencerrada por las rectas t = 0, t = 6, v = 0 y v = 3.

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v

t
Solución: El hecho de que la velocidad sea constante nos indica que estamos en un caso de MRU, por lo que deberemos usar la fórmula e = v*t que nos da el espacio recorrido por el cuerpo si conocemos suvelocidad y el tiempo transcurrido t. Por lo tanto, para calcular el espacio recorrido por el cuerpo desde t = 0 hasta t = 6 hacemos e = 3*6 = 18, que coincide con el área del rectángulo coloreado, y que es al mismo tiempo el área encerrada por las rectas: t = 0, t = 6, v = O y v = 3. Hasta ahora hemos calculado el área encerrada por funciones continuas pero ¿qué haríamos para calcular el áreaencerrada bajo la función del dibujo 1 entre x = 1 y x = 4?, ¿es siempre posible descomponer la figura encerrada bajo una curva en figuras cuya área conocemos? Para investigarlo, consideremos la gráfica velocidad-tiempo del dibujo 2, y calculemos el espacio recorrido entre t = 0 y t = 1. ¿Cómo calcularíamos, aproximadamente, el área encerrada bajo esta función entre t = 0 y t = 1?. Acotaremos dicha...