Integral múltiple

Integral Múltiple

La noción de integral de Riemann para funciones de una variable se puede ampliar a funciones de varias variables, campos escalares y se llama integral múltiple. La integral de Riemann es para funciones acotadas y continuas por tramos definidas en intervalos cerrado, que posteriormente se extiende para intervalos no acotados y funciones no acotadas con las funciones impropias.Sea f : [a, b] → IR , función acotada y continua por tramos. 1. Se define una partición de [a, b] . 2. Se elige el supremo y el ínfimo de f (x) en cada subintervalo de la partición. 3. Se definen la suma superior y la suma inferior, llamada sumas de Riemann. 4. Se busca el ínfimo y el supremo para la suma superior y la suma inferior, respectivamente. 5. Si el ínfimo de las sumas superiores esigual al supremo de las sumas inferiores, entonces se dice que la función es integrable en [a, b] y se denota

∫ f ( x)dx
a

b

2.1 La integral Doble Integral Doble Sobre Rectángulos Sea R un rectángulo en IR 2 (del plano), R = {( x, y ) / a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d } , es un conjunto cerrado, acotado con interior no vacío y es el producto cartesiano de los intervalos [a, b] y [c, d ] , R = [a, b] ×[c, d ] y es la región de integración en el cual está definido un campo escalar f ( x, y ) continuo. Para R se define una partición, como sigue: Sea P una partición de [a, b] en n subintervalos [x i −1 , x i ] de longitud ∆xi = xi − x i −1 para i = 1,2,.., n .
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Sea Q una partición de [c, d ] en m subintervalos y j −1 , y j de longitud
∆y j = y j − y j −1 para j = 1,2,..., m .

[

]Entonces P × Q es una partición de Rij = [xi −1 , x i ] × y j −1 , y j de áreas ∆a ij = ∆xi ∆y j .

[

]

R

en

nm

rectángulos

d

c

a

b

La norma de la partición es µ = max ∆xi2 + ∆y 2 / i = 1,2,.., n; m = 1,2,...., m j

{

}

Sea f ( x, y ) un campo escalar definido y continuo en R , (u i , v j ) un punto del rectángulo Rij = [xi −1 , x i ] × y j −1 , y j y f (ui , v j ) el valor del campo en dicho

[

]

punto, para i = 1,2,...., n;

j = 1,2,..., m y consideremos el producto

f (u i , v j )( x i − xi −1 )( y j − y j −1 ) = f (u i , v j )∆xi ∆y j
Si f (u i , v j ) ≥ 0 en Rij , entonces el producto f (u i , v j )∆xi ∆y j representa el volumen un paralelepípedo de base el rectángulo Rij y altura f (u i , v j ) . Se define la suma

∑ ∑ f (u , v)(x
n m i =1 j =1 i j

i

− xi −1 )( y j − y j −1 ) =∑ ∑ f (u i , v j )∆xi ∆y j = ∑ ∑ f (u i , y j )∆a ij
n m n m i =1 j =1 i =1 j =1

El valor de esta suma depende de la partición P × Q elegida y de la norma de ella. Si el conjunto de estas sumas es un conjunto acotado en IR y existe el límite cuando la norma de la partición tiende a cero y n, m tienden a infinito, este límite se llamala integral doble de f sobre R , se dice que f es integrable sobre R y se denota

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∑ ∑ f (u , y )∆a =∑∑ f (u , y )∆a = ∫∫ f ( x, y)dA
n m m n i =1 j =1 i j ij j =1 i =1 i j ij R

otros símbolos que se utilizan para integrales dobles son

∫∫ f ( x, y)dxdy, ∫∫ f ( x, y)dydx
R R

Significado geométrico Si f ( x, y ) ≥ 0 , en el rectángulo R , entonces la integral doble representa elvolumen del sólido geométrico recto de base el rectángulo R y cara superior la superficie z = f ( x, y ) . Teorema Si z = f ( x, y ) es continua en el rectángulo R , entonces integrable sobre R . Sin demostración. Este teorema garantiza, por ejemplo que

f

es

∫∫

9 − x 2 + y 2 dA existe para

cualquier rectángulo contenido en la bola de centro en el origen y radio 3.

Integral Doblesobre regiones más generales

Definición Se llama región a un subconjunto cerrado, acotado y con interior no vacío del plano. Ahora, trata de extender la definición de integral doble para cualquier región del plano. Sea D una región, f campo escalar definido y continuo en D , R un rectángulo del plano tal que D ⊆ R , se define la función F sobre R por ( x, y ) ∈ D  f ( x, y ) si F ( x, y ) = ...