Integrales Multiples

La integral múltiple

Problemas resueltos
1. Sea f una función definida en I = [1, 2] × [1, 4] del siguiente modo:
f (x, y ) =

(x + y )−2 , x ≤ y ≤ 2x ,
0 , en el resto.

Indique, mediante un dibujo, la porción A del rectángulo I en la que f no es
nula y calcule el valor de la integral

f , supuesta su existencia.
A

Solución:

La región sombreada, A = (x, y ) ∈ R2 : 1 ≤ x ≤ 2, x≤ y ≤ 2x , es la porción del rectángulo en la que f no se anula. La función f es continua en A,
por tanto f es integrable en A.
Luego, aplicando el teorema de Fubini:
2

4

f=
A

2

2x

f (x, y )dy dx =
1

1
2

=
1

1
−
x+y

1
2x

2

dx =
x

1

x

1
dy dx =
(x + y )2

1
1
1
(−
+
)dx = log x
3x 2x
6

2

=
1

1
log 2.
6

2. Un sólido estálimitado por la superficie z = x2 − y 2 , el plano xy , y
los planos x = 1 y x = 3. Calcule su volumen por doble integración.

Problemas resueltos
Solución:
La intersección de la superficie con el plano xy es:
z = x2 − y 2
z=0

y 2 = x2

→

y=x
y = −x

→

y con los planos x = 1 y x = 3, las parábolas z = 1 − y 2 y z = 9 − y 2 ,
respectivamente.

Para hallar el volumen delsólido dado hemos de calcular la integral doble de
la función z = f (x, y ) = x2 − y 2 sobre la región D del plano xy comprendida
entre las rectas x = 1, x = 3, y = x e y = −x :
D = {(x, y ) ∈ R2 : 1 ≤ x ≤ 3, −x ≤ y ≤ x}
3

(x2 − y 2 )dxdy =

V=
D

1

1

(x2 − y 2 )dy dx =

−x
3

=

x

x2 y −

y3
3

x

3

dx =
−x

1

43
1
x dx = x4
3
3

3

=
1

80
.
3x2 y 2 dxdy siendo D la porción acotada del primer cua-

3. Calcule
D

drante situada entre las dos hipérbolas xy = 1 y xy = 2 y las líneas rectas
y = x e y = 4x.

La integral múltiple
Solución:
La región D es el conjunto
D = (x, y ) ∈ R2 : 1 ≤ xy ≤ 2, x ≤ y ≤ 4x} =
= (x, y ) ∈ R2 : 1 ≤ xy ≤ 2, 1 ≤

y
≤4 .
x

Esta expresión nos sugiere el cambio de variables
y
u = xy, v = .x
Con lo que
y = vx, u = vx2

→

x=

√
u
, y = uv,
v

siempre que u, v > 0

y la transformación que obtenemos es
T :]0, +∞[×]0, +∞[→ R2 ,

T (u, v ) = (

u√
, uv ).
v

T es una transformación inyectiva (para cada (x, y ) hay un solo (u, v ) tal
que T (u, v ) = (x, y )) y es de clase C 1 . Hemos de comprobar además que su
jacobiano es no nulo:
1/v
2 u/v

2 u/v

v√
2 uv

JT (u, v ) =

−u/v 2

u
√
2 uv

=

1
= 0,
2v

∀u, v > 0.

Podemos dibujar fácilmente la región D calculando los puntos de corte de
las rectas con las hipérbolas dadas (recordemos que son sólo los del primer
cuadrante):
xy = 1
y=x

→ x2 = 1 → P1 = (1, 1);

xy = 2
y = 4x
xy = 2
y=x

→ x2 =

xy = 1
y = 4x

→ x2 =

1
1
→ P2 = ( , 1)
4
2

1
14
→ P3 =( √ , √ );
2
22

√√
→ x2 = 2 → P4 = ( 2, 2)

Problemas resueltos

Es obvio que esta región D (en el plano xy ) es la imagen, T (Q), del recinto
(en el plano uv )
Q = (u, v ) ∈ R2 : 1 ≤ u ≤ 2, 1 ≤ v ≤ 4 .
Aplicando el teorema del cambio de variable obtenemos:
x2 y 2 dxdy =

u2

D

Q
2

=

1
dudv =
2v
4

u2 du.

1

1

1
u3
dv =
2v
3

2

.
1

1
log v2

4

=
1

7
log 2.
3

4. Calcule la integral
(2zx2 + 2zy 2 ) dxdydz ,
V

siendo V el volumen exterior a la hoja superior del cono z 2 = x2 + y 2 e interior
al cilindro x2 + y 2 = 1, con z ≥ 0.
Solución:
La intersección del cono con el cilindro es:
x2 + y 2 = z 2
x2 + y 2 = 1

→

la circunferencia x2 + y 2 = 1 en el plano z = 1.

La integral múltiple

El conjunto Vserá el conjunto descrito por:
V = (x, y, z ) ∈ R3 : x2 + y 2 ≤ 1, 0 ≤ z ≤

x2 + y 2

Haciendo el cambio a coordenadas cilíndricas

x = ρ cos ϕ 

T : U → R3 , T (ρ, ϕ, z ) = (ρ cos ϕ, ρ sen ϕ, z )
y = ρ sen ϕ


z=z
siendo
U =]0, +∞[×]0, 2π [×R,

JT (ρ, ϕ, z ) = ρ.

De esta manera, y puesto que x2 + y 2 = ρ2 = 1 en el cilindro y z 2 = ρ2 en
el cono, el recinto V es la...