integrales de funciones vectoriales

Integración de Funciones Vectoriales
Una función vectorial es una función definida en términos de la variable tiempo. El rango de esta función es multidimensional dado que la función está constituida por diversos componentes, donde cada uno de los componentes varía con respecto al tiempo en una de las direcciones. Por lo tanto, de manera informal una función vectorial puede denotarse como.Aquí, cada una de las funciones individuales es una función vectorial de variable real en sí misma. Por lo tanto, el conjunto de funciones (p (t), q (t), r (t)) es una asignación de un intervalo cerrado en Rk, la cual es de rango dimensional k para la función dada. Las dimensiones de entrada y salida de una función vectorial son iguales, las cuales son un vector con alguna forma determinada.La integración de la función se lleva a cabo mediante la integración de cada uno de los componentes individuales de la función. Por lo tanto la integración de la función vectorial se valora,
Aquí la integración se hace con respecto a ‘t’, la cual es la variable.
Asimismo la integración definida de la función también puede hacerse de la misma manera que una función ordinaria. Para quelaintegración definida sea llevada a cabo, los componentes completos de la función, y por lo tanto la función misma debe ser real en un intervalo cerrado [a, b]. Si el valor de ‘t’ está incrementándose monótonamente en el intervalo dado o podemos decir que, fi R(t) para i = 1 … k, entonces la integración definida de la función será.
El Teorema Fundamental del Cálculo también se ha modificado para unafunción valorada vectorial la cual establece que, sean F y f dos funciones diferentes que se trazan con el rango multidimensional Rk para un intervalo cerrado [a, b] también la derivada de F es equivalente a f, entonces
Si, f R en [a, b].
Observemos ahora un ejemplo ilustrativo con el fin de tener una mejor comprensión acerca del tema. Calcule la función r(t), dada r’(t) = - y r(0) = + 2 .Para determinar la función r(t) a partir de las ecuaciones anteriores tenemos que integrar ‘r(t). Pero antes vamos a escribir cada una de las dos funciones en sus formas vectoriales,
r’(t) = r(0) =
Ahora integremos r’(t) como,
r’(t) dt = dt - dt + dt
R (t) =
Ahora bien, si sustituimos estos valores en la ecuación 2, podemos obtener los valores reales de la constante de integracióncomo:
R (0) = = c1 = 0 c2 = 1 c3 = 2
Entonces la función r(t) se calcula como .
Por lo general, en el caso que la función vectorial esté en lugar de la constante de integración hacemos uso del vector integración, el cual es un vector arbitrario.
P (u) => P (u) es una función vectorial de la variable escalar u, es decir, el escalar u define por completo el módulo, dirección y sentido delvector.
Si representamos el vector P en un eje de cartesianas, se va a representar siempre con un mismo origen O, haciendo variar el escalar u, y el extremo de P describirá una curva en el espacio.
 Suma de dos funciones vectoriales
Sean P (u) y Q(u), dos funciones vectoriales de la misma variable escalar u, la derivada de la función P + Q es:

 Cómo el límite de una suma es igual a la sumade los límites de los sumandos:


 
 Producto de una función escalar f(u) y de una función vectorial P(u) de la misma variable escalar u.
La derivada del vector fP es:
 
Teniendo en cuenta las propiedades de los límites de sumas y productos, la derivada del vector fP es:
 

 Producto escalar de dos funciones vectoriales

 Producto vectorial de dos funciones vectoriales

 Componentesrectangulares de la derivada de una función vectorial P(u).
Descomponiendo P en sus componentes según tres ejes rectangulares fijos x, y, z, se tiene:

 => Son las componentes rectangulares escalares del vector P.
i, j, k => Son los vectores unitario de los ejes x, y , z.
 La derivada de P, es igual a la suma de las derivadas de los sumandos del segundo miembro.

Los vectores unitarios...