Integrales de Superficie

Cálculo II

2.2-1

§2.2 Integrales de superficie
La segunda forma de integral de campos es la integral extendida a una superficie S ⊂ 3. Las aplicaciones a la
Física nos obligarán a distinguir entre campos escalares y campos vectoriales, como en las integrales de línea.
Tendremos que completar la presentación de los campos vectoriales, viendo las bases vectoriales a que referir los
campos en lossistemas de coordenadas cilíndricas y esféricas. Y también tenemos que presentar la parametrización de
superficies en el espacio antes de estudiar la definición, propiedades y cálculo de las integrales de superficie.

a) Preliminares sobre campos vectoriales en curvilíneas
En la sección anterior se han presentado las curvas parametrizadas en el espacio 3 y eso nos permite a
continuación añadircontenidos de mucho interés para manejar los campos vectoriales en los sistemas de coordenadas
curvilíneas, en particular los sistemas de coordenadas cilíndricas y esféricas. Expresar un campo escalar en curvilíneas
consiste simplemente en cambiar las coordenadas usando las relaciones de transformación. Pero expresar un campo
vectorial exige no sólo cambiar las coordenadas, sino también cambiar labase de referencia en la que dar los vectores
en cada punto.

a1) Base natural de un sistema de coordenadas curvilíneas generales
Si (u,v,w) son un sistema de coordenadas del espacio introducidas mediante unas relaciones de transformación
{x = f1(u,v,w), y = f2(u,v,w), z = f3(u,v,w)},
podemos expresar en función de (u,v,w) el vector de posición r(x,y,z) en la base cartesiana {_i, _j, _
k } ≡ {e1, e2, e3}:
r(u,v,w) = x(u,v,w)_i + y(u,v,w)_j + z(u,v,w)_
k = f1(u,v,w)e1 + f2(u,v,w)e2 + f3(u,v,w)e3

(2.2-1)

La exigencia de unicidad de coordenadas se obtiene con la condición del jacobiano

∂ ( x, y , z )
∂ ( x, y , z )
= det
≠0
∂ (u , v, w)
∂ (u , v, w)



(2.2-2)

:= J (u ,v , w)

y llamaremos regulares a los puntos (u,v,w) que la cumplan.
Definición: Sea (u0,v0,w0) un punto genéricoregular. Definimos las líneas coordenadas del sistema como las 3 curvas
que pasan por (u0,v0,w0) en las que sólo varía una de las 3 coordenadas curvilíneas; su ecuación vectorial es sencilla a
partir de (2.2-1):
línea coordenada u: Cu(u0,v0,w0) ≡ {r(u) = r(u,v0,w0) = x(u,v0,w0)_i + y(u,v0,w0)_j + z(u,v0,w0)_
k,
línea coordenada v: Cv(u0,v0,w0) ≡ {r(v) = r(u0,v,w0) = x(u0,v,w0)_i + y(u0,v,w0)_j +z(u0,v,w0)_k ,
línea coordenada w: Cw(u0,v0,w0) ≡ {r(w) = r(u0,v0,w) = x(u0,v0,w)_i + y(u0,v0,w)_j + z(u0,v0,w)_
k.
Los vectores velocidad de estas curvas en el punto (u0,v0,w0) se denotan
gu(u0,v0,w0) :=
_

∂r
(u , v , w )
∂u 0 0 0

, _gv(u0, v0, w0) :=

∂r
(u , v , w ) ,
∂v 0 0 0

gw(u0,v0,w0) :=
_

∂r
(u , v , w )
∂w 0 0 0

(2.2-3)

y forman una base tridimensional, llamada base natural del sistema.Si esta base es ortogonal, el sistema de
coordenadas se dice sistema de coordenadas ortogonales. En tal caso la base normalizada de la base natural es una base
ortonormal que se llama base física del sistema.
La independencia lineal de los tres vectores naturales (2.2-3) está garantizada en los puntos regulares, por la
condición del jacobiano (2.2-2), ya que la matriz jacobiana, J(u,v,w), tienepor columnas las componentes
cartesianas de los tres vectores en la base canónica {e1, e2, e3} ≡ {_i, _j, k}, en la que se han obtenido las
derivadas, a partir de expresión canónica del vector de posición, (2.2-1).
Expresar un campo vectorial F = F(x,y,z) en el sistema curvilíneo (u, v, w) no es sólo cambiar las coordenadas, sino
cambiar también la base. El proceso comienza cambiando, sí, lascoordenadas, obteniendo F en función de (u, v, w)
pero todavía en la base {_i, _j, k}, y pasando finalmente a la base natural {g
_u, g
_v, g_w}. Esquemáticamente sería:

2.2-2

Cálculo II
c.de base: J −1

(2.2 −1)

→ Fx(u,v,w)_i+Fy(u,v,w) j +Fz(u,v,w)k_ 
→ F(u,v,w) = Fu_gu + Fvg_v + Fw_gw
F = Fx(x,y,z)_i+Fy_j+Fzk
_ 
_
E

A

EA

A

E

A

A

E

A

A

EA

EA

EA

EA

En el último paso se...