INTEGRALES DEFINIDAS



1.-TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
Consiste (intuitivamente) en la afirmación de que la derivación e integración de una función son operaciones inversas. Esto significa que toda función continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma. Este teorema es central en la rama de las matemáticas denominada análisis matemático o cálculo.
El teorema es fundamentalporque hasta entonces el cálculo aproximado de áreas -integrales- en el que se venía trabajando desde Arquímedes, era una rama de las matemáticas que se seguía por separado al cálculo diferencial que se venía desarrollando por Isaac Newton, Isaac Barrow y Gottfried Leibniz en el siglo XVIII y dio lugar a conceptos como el de las derivadas. Las integrales eran investigadas como formas deestudiar áreas y volúmenes, hasta que en ese punto de la historia ambas ramas convergieron, al demostrarse que el estudio del "área bajo una función" estaba íntimamente vinculado al cálculo diferencial, resultando la integración, la operación inversa a la derivación.
Dada una función f integrable sobre el intervalo , definimos F sobre  por . Si f es continua en , entonces F es derivable en  y F'(c) = f(c).Consecuencia directa del primer teorema fundamental del cálculo infinitesimal es:

Siendo f(t) una función integrable sobre el intervalo [a(x),b(x)] con a(x) y b(x) derivables.






2.- APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
Área entre una función y el eje de abscisas
1. La función es positiva

Si la función es positiva en un intervalo [a, b] entonces la gráfica de la función está porencima del eje de abscisas. El área de la función viene dada por:

Para hallar el área seguiremos los siguientes pasos:
1º Se calculan los puntos de corte con con el eje OX, haciendo f(x) = 0 y resolviendo la ecuación.
2º El área es igual a la integral definida de la función que tiene como límites de integración los puntos de corte.






2. La función es negativa

Si la función esnegativa en un intervalo [a, b] entonces la gráfica de la función está por debajo del eje de abscisas. El área de la función viene dada por un viene dada por:



3. La función toma valores positivos y negativos

En ese caso el recinto tiene zonas por encima y por debajo del eje de abscisas. Para calcular el área de la función seguiremos los siguientes pasos:
1º Se calculan los puntos de cortecon el eje OX, haciendo f(x) = 0 y resolviendo la ecuación.
2º Se ordenan de menor a mayor las raíces, que serán los límites de integración.
3º El área es igual a la suma de las integrales definidas en valor absoluto de cada intervalo.


Área comprendida entre dos funciones

El área comprendida entre dos funciones es igual al área de la función que está situada por encima menos el área dela función que está situada por debajo.



Volumen de una función
El volumen del cuerpo de revolución engendrado al girar la curva f(x) alrededor del eje OX y limitado por x = a y x = b, viene dado por:


3.- AREA DE UNA REGION EN EL PLANO
Continuando con este razonamiento, revisemos el siguiente problema de cálculo integral:


Supongamos la gráfica de


Limitada por el eje x, entrex=0 y x=2.

Cuya gráfica corresponde a:




Vamos a utilizar el método del exhaución (Arquímedes) para calcular el área comprendida entre la gráfica de f(x) y las rectas x=0 y x=5

Utilizaremos 5 rectángulos para aproximar el área de la región que corresponde a la imagen superior.

Primero utilizaremos rectángulos que aproximarán el área por defecto.

La base de cada rectángulodibujado es 2/5 (puesto que hemos dividido 2 unidades en cinco partes iguales).

Los puntos terminales de la derecha en cada intervalo los podemos expresar como (2i / 5) , siendo i=1,2,3,4,5

La altura puede obtenerse evaluando f en el punto terminal derecho de cada intervalo

De manera más exacta, podemos expresar la suma de las áreas de los cinco rectángulos como:



Aquí vemos que la...