Integrales dobles y triples

Tema 10

Integrales dobles y triples
Hasta ahora se han calculado el ´
area de figuras geom´etricas planas elementales: el rect´
angulo, el c´ırculo, el trapecio, etc. Pero, ¿c´
omo calcular el ´
area
de figuras no regulares? Una buena aproximaci´on puede ser la de dividir la
zona en peque˜
nos rect´angulos y sumar las ´
areas de cada uno de ellos:

Figura 10.1: Mallado para laaproximaci´
on del ´
area

Esta idea era la que subyac´ıa en la construcci´on de la integral que vimos
en el tema anterior y que nos permiti´
o calcular longitudes de curvas, ´
areas
limitadas por curvas y vol´
umenes de cuerpos de revoluci´
on. En este tema, se
generaliza el concepto de integral definida a funciones de dos o tres variables,
obteniendo las llamadas integrales de ´
area ode volumen, respectivamente.
Esto nos permitir´
a calcular el volumen de cuerpos limitados por superficies,
no necesariamente de revoluci´
on. Tambi´en permitir´
a calcular ´
areas mediante integrales dobles sencillas que en el tema anterior resultaban algo m´as
complicadas. Se empezar´
a definiendo la integral sobre un rect´
angulo.

206

10.1.

Integrales dobles sobre rect´angulos

Sea f (x, y) una funci´on acotada sobre un rect´
angulo R = [a, b] × [c, d]. Una
partici´
on del rect´angulo R son dos conjuntos de puntos {xj }nj=0 e {yj }m
j=0 ,
satisfaciendo
a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = b
temna
c = y0 < y1 < y2 < . . . < ym = d

es decir, P = P1 × P2 , donde P1 y P2 son particiones de [a, b] y [c, d],
respectivamente.
Se llama ´area de R a v(R) =(d−c)(b−a). Toda partici´
on divide al rect´
angulo
R en n · m subrect´angulos Rjk = [xj−1 , xj ] × [yk−1 , yk ], j = 1, . . . , n, k =
1, . . . , m como se observa en la Figura 10.2.
Se llama norma de la partici´
on P a
P = m´ax{v(Rjk ) : j = 1, . . . , n; k = 1, . . . , m}

Figura 10.2: Una partici´
on del rect´
angulo R = [a, b] × [c, d]
Consid´erese cualquier punto cjk del rect´
angulo Rjk yf´
ormese la suma
n−1 m−1

f (cjk )v(Rjk )

S(f, P ) =
j=0 k=0

207

llamada suma de Riemann para f
En la siguiente gr´
afica hemos representado las sumas de Riemann para la
funci´
on f (x, y) = x2 + y 2 tomando como punto cjk el punto medio del
rect´angulo y el punto inferior del rect´
angulo.

2

2
1.5

1.5
1

1
0.5

0.5
0
0 0.25
0.50.75 0
1

1
0.75
0.5
0.251
0.75
0.5
0.25

0
0

(a) cjk como punto inferior

0.25

0.5

0.75

1

0

(b) cjk como punto medio

Figura 10.3: Sumas de Riemann
Definici´
on 10.1 Si la sucesi´on {S(f, P )} converge a un l´ımite S, cuando
la norma de la partici´
on tiende a 0, que es el mismo para cualquier elecci´on
de cjk , entonces se dice que f es integrable sobre R y se escribe
n−1 m−1

f(x, y)dxdy = l´ım
R

P →0

f (cjk )v(Rjk )
j=0 k=0

A continuaci´
on se resumen las propiedades m´as importantes de las funciones
integrables.
Teorema 10.2 Sean f y g dos funciones integrables sobre un rect´angulo
R. Entonces
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1. (Linealidad) f + g es integrable sobre R y
(f (x, y) + g(x, y))dxdy =
R

f (x, y)dxdy +
R

g(x, y)dxdy
R

2. (Homogeneidad) αf es integrablesobre R, para todo α ∈ R, y
αf (x, y)dxdy = α

f (x, y)dxdy

R

R

3. (Monoton´ıa) Si f (x, y) ≤ g(x, y), para todo (x, y) ∈ R, entonces
R

f (x, y)dxdy ≤

g(x, y)dxdy
R

4. (Aditividad) Si R = P ∪Q con P y Q dos rect´
angulos cuya intersecci´on
es una l´ınea recta o un punto o vac´ıa, entonces
f (x, y)dxdy

f (x, y)dxdy +

f (x, y)dxdy =

Q

P

R

5. (Valorabsoluto) |f | tambi´en es integrable y se verifica
R

f (x, y)dxdy ≤

R

|f (x, y)|dxdy

Un primer ejemplo de una amplia clase de funciones integrables la proporciona el siguiente teorema
Teorema 10.3 Toda funci´
on continua sobre un rect´angulo cerrado R es
integrable
Aunque la clase de las funciones integrables es mucho m´
as amplia, el teorema
anterior ser´a suficiente en muchos...