Integrales Triples

Análisis Matemático
INTEGRALES TRIPLES
Calculo de Volúmenes:
Vol (v) = ∫∫∫ V dx dy dz
Calculo de Masas: Masa (V) = ∫∫∫ V δ (x, y, z) dx dy dz
Centro de masa: (∫∫∫ V x δ (x, y, z) dx dy dz) /M Momento de inercia: I0 = ∫∫∫ Vd² δ (x, y, z) dx dy dz
Extensión del teorema de Fubini a regiones generales:

∫∫∫ V F (x, y, z) dx dy dz =  F (x, y, z) dx dy dz
Teorema: Cambio de variables:
Dada f: k ⊂ ℜ³ →R, F continua, G: r*⊂ ℜ³ → ℜ³, G ∈ C¹, inyectiva con G (k*), tal que det (DG (u, v, w) ≠ 0,∀ (u, v, w)∈ k*): entonces: ∫∫∫ kF(x, y, z) dx dy dz = ∫∫∫ kF(g(u, v, w)) .|det (DG)|du dv dw
F(x, y, z) = dv
F(g(x, y, z)).|det(DG)| = dv
Obs: el teorema sigue siendo valido si det DG (u, v, w) = 0 sobre un conjunto de puntos de medida 0 en k*.
Aplicación: Coordenadas Cilíndricas:

X = r cos θ
Y = r sen θZ = z
r = √(x² + y²) (distancia al eje z)
dv =
G (r.cos θ,r.sen θ, z)
∫∫∫ kF(x, y, z) dx dy dz = ∫∫∫ k*F(r.cos θ, r.sen θ, z).r.dz.dr.d θ
Método de trabajo:

Ejemplo: Calcular el volumen de μ limitado por √(x² + y²)≤ z ≤ R

Vol =  r dz dr d θ =  (Rr-r²) dr d θ =  Rr²/2-r³/3 |  d θ = ℜ³/6  d θ = π ℜ³/3
Integrales de Superficie:
en superficie (reemplazar Z por su valor en la superficie)
Area (s)= ∫∫ Axy |∇F|/|F´z|dx dy; Φ (flujo) = ∫∫ Axy F .∇F /|F´z| dx dy
Ejemplo: s: z = √(x² + y²) Limites: x² + y² ≤ R

F (x, y, z) = √(x² + y²)-z
F´ x = x/ (√(x² + y²))
∇F = (x/ (√(x² + y²)), y/ (√(x² + y²)), -1)
F´ y = y/ (√(x² + y²))

F´ z = -1


|∇F| = √2
 
Area Lateral = ∫∫ Axy |∇F|/|F´z| dx dy =∫∫ Axy √2.dx dy =
√2 ∫∫ Axy dx dy
= √2π ℜ²

Area del circulo

Teorema de Gauss (o de la divergencia):
Obs: Coneste método se calcula el vector normal exterior a la superficie.
 F ds = ∫∫∫ V ∇.F dx dy dz
∇F :Divergencia
Te dan el flujo de una determinada función F (x, y, z). Delimitan una superficie con planos o superficies y piden calcular el flujo a través de la superficie frontera.
Divergencia: ∂F1/∂x + ∂F2/∂y + ∂F3/∂z (derivadas de las componentes de la función del flujo)
Obs: Si me queda el flujo netonegativo, significa que tiene sentido opuesto al normal exterior.
Puntos: Fuente: origina campo (campo positivo). Sumidero: recibe campo. Pasante: Lo que entra = lo que sale.
Teorema de Stocks (o del rotor):  F dl = ∫∫ S ∇ x F.ds
Obs: La relación entre la orientación de la curva y de la superficie esta dada por la regla de la mano derecha.
En practica: Te piden calcular la circulación de una F (x,y, z) a lo largo de una curva.
∇xF =
i
j
k

∂/∂x
∂/∂y
∂/∂z

F1
F2
F3
(F1, F2, F3) Componentes del campo que circula
Componente i = ∂/∂y F3 - ∂/∂z F2 (derivada respecto de y de F3 menos la derivada respecto de z de F2)
 F dl = ∫∫ Axy ∇ x F ∇F / |F´z| El gradiente del plano en el que encuentro la figura
El gradiente me define un sentido de recorrido con la regla de la mano derecha. Cuando recorro lafigura debo respetar este sentido (es distinto que )
Teorema de Green (Teorema de Stokes aplicado al plano xy):
 F dl = ∫∫ S (∂f2/∂x -∂F1/∂y) dx dy
Obs: El sentido de circulación corresponde a recorrer la curva de manera tal que la región S queda a la izquierda (en general sentido antihorario).
Obs: verificar que el campo F y sus derivadas están definidos en toda la región S.
Aplicación alcalculo de áreas:  F dl = ∫∫ S (∂f2/∂x -∂F1/∂y) dx dy. Si (∂f2/∂x - ∂F1/∂y) es una constante K:
 F dl = ∫∫ SK dx dy con K ≠ 0 = K Area (S)⇒Area (S) = 1/K  F dl, con (∂f2/∂x - ∂F1/∂y) = K ≠ 0
Caso particular: F (x, y) = (0, x) ⇒ ∂f2/∂x - ∂F1/∂y = 1 Luego: Area (S) =  (0, x) dl
Ejemplo: Calculo del Area de la elipse:

x²/a² + y²/b² = 1 G (θ) = (a cos (θ),b sen (θ))
Area (S) =  (0, x) dl ⇒  (0, a cos (θ)). (a (-sen (θ)), b cos (θ)) d θ =  a b cos² (θ) d θ =
= a b (θ /2 + sen (2 θ)/4)|02.π (por tabla) = a b (π + 0) = a b π
Campos Conservativos:
∃ φ/ F (x) = ∇ φ (x)
Condición necesaria: Derivadas cruzadas iguales.
Búsqueda de φ:
F = (f1, f2) = (φ ´x, φ ´ y)
Luego, se construye con los términos comunes colocados 1 sola vez mas los términos no comunes mas una constante pura
φ = ∫ φ ´x dx = ∫ f1...