Integrales Iteradas
Páginas: 9 (2006 palabras)
Publicado: 3 de diciembre de 2014
Integrales iteradas
Se llaman integrales iteradas a la realización sucesiva de por lo menos 2 procesos de integración simple considerando las diferenciales dx y dy.
Es importante tomar en cuenta en que posición vienen dados los límites de las integrales en cuestión para saber en que orden serán ejecutados los procesos de integración simple; es decir, reconocer si se va integrar primeroconsiderando la diferencial dx o la diferencial dy o viceversa.
Las integrales múltiples están estrechamente relacionadas con las integrales iteradas, mismas que son necesarias para resolver las integrales múltiples. La diferencia entre integrales múltiples e iteradas consiste en que una se refiere al concepto matemático de integral (aplicado a varias variables) y otra al procedimiento por el cual seresuelve la integral múltiple. Si la expresión
se refiere a una integral iterada, la parte externa
es la integral con respecto a x de la función de x:
Una integral doble, en cambio está definida con respecto a un área en el plano xy. La integral doble existe si y sólo si las dos integrales iteradas existen y son iguales. Es decir, si la integral doble existe, entonces es igual a la integraliterada, sin importar si el orden de integración es dydx ó dxdy, y por lo general uno la calcula calculando una sola de estas. Sin embargo, a veces las dos integrales iteradas existen sin ser iguales y en este caso no existe la integral doble, ya que se tiene:
De una manera más formal, el Teorema de Fubini afirma que
Esto es, si la integral es absolutamente convergente, entonces la integraldoble es igual a la integral iterada.
Esto ocurre, cuando es una función acotada y tanto A como B son regiones acotadas también. Esto se entiende fácilmente pensando que si la función o la región del dominio no están acotadas, la integral múltiple no puede existir.
La notación
se puede usar si se desea ser enfático al referirse a una integral doble y no a una iterada.
Ejemplos:Integrales Dobles y Volumen.
Una integral Doble es un tipo de integral definida aplicada a funciones de más de una variable real, por ejemplo, ó .
De la misma manera en que la integral de una función positiva de una variable definida en un intervalo puede interpretarse cómo el área entre la gráfica de la función y el eje x en ese intervalo, la doble integral de unafunción positiva de dos variables, definida en una región del plano xy, se puede interpretar como el volumen entre la superficie definida por la función y el plano xy en ese intervalo. Al realizar una "integral triple" de una función definida en una región del espacio xyz, el resultado es unhipervolumen, sin embargo es bueno notar que si el resultado se puede interpretar como el volumen de la regiónde integración. Para integrales de órdenes superiores, el resultado geométrico corresponde a hipervolúmenes de dimensiones cada vez superiores.
La manera más usual de representar una integral múltiple es anidando signos de integración en el orden inverso al orden de ejecución (el de más a la izquierda es el último en ser calculado), seguido de la función y los diferenciales en orden de ejecución.El dominio de integración se representa sobre cada signo de integral, o a menudo es abreviado por una letra en el signo de integral de más a la derecha:
Es importante destacar que no es posible calcular la función primitiva o antiderivada de una función de más de una variable por lo que las integrales múltiples indefinidas no existen.
Una integral doble se puede usar para hallar elvolumen de una región sólida que se encuentra en el plano “xy” y la superficie dada por z = f (x, y).
Propiedades de las integrales dobles:
Las integrales dobles tienen muchas de las propiedades de las integrales simples.
Evaluación de integrales dobles:
Para evaluar cuando es una región tipo 1, escogemos un rectángulo que contiene a . Debemos hacer que sea la función dada por la...
Se llaman integrales iteradas a la realización sucesiva de por lo menos 2 procesos de integración simple considerando las diferenciales dx y dy.
Es importante tomar en cuenta en que posición vienen dados los límites de las integrales en cuestión para saber en que orden serán ejecutados los procesos de integración simple; es decir, reconocer si se va integrar primeroconsiderando la diferencial dx o la diferencial dy o viceversa.
Las integrales múltiples están estrechamente relacionadas con las integrales iteradas, mismas que son necesarias para resolver las integrales múltiples. La diferencia entre integrales múltiples e iteradas consiste en que una se refiere al concepto matemático de integral (aplicado a varias variables) y otra al procedimiento por el cual seresuelve la integral múltiple. Si la expresión
se refiere a una integral iterada, la parte externa
es la integral con respecto a x de la función de x:
Una integral doble, en cambio está definida con respecto a un área en el plano xy. La integral doble existe si y sólo si las dos integrales iteradas existen y son iguales. Es decir, si la integral doble existe, entonces es igual a la integraliterada, sin importar si el orden de integración es dydx ó dxdy, y por lo general uno la calcula calculando una sola de estas. Sin embargo, a veces las dos integrales iteradas existen sin ser iguales y en este caso no existe la integral doble, ya que se tiene:
De una manera más formal, el Teorema de Fubini afirma que
Esto es, si la integral es absolutamente convergente, entonces la integraldoble es igual a la integral iterada.
Esto ocurre, cuando es una función acotada y tanto A como B son regiones acotadas también. Esto se entiende fácilmente pensando que si la función o la región del dominio no están acotadas, la integral múltiple no puede existir.
La notación
se puede usar si se desea ser enfático al referirse a una integral doble y no a una iterada.
Ejemplos:Integrales Dobles y Volumen.
Una integral Doble es un tipo de integral definida aplicada a funciones de más de una variable real, por ejemplo, ó .
De la misma manera en que la integral de una función positiva de una variable definida en un intervalo puede interpretarse cómo el área entre la gráfica de la función y el eje x en ese intervalo, la doble integral de unafunción positiva de dos variables, definida en una región del plano xy, se puede interpretar como el volumen entre la superficie definida por la función y el plano xy en ese intervalo. Al realizar una "integral triple" de una función definida en una región del espacio xyz, el resultado es unhipervolumen, sin embargo es bueno notar que si el resultado se puede interpretar como el volumen de la regiónde integración. Para integrales de órdenes superiores, el resultado geométrico corresponde a hipervolúmenes de dimensiones cada vez superiores.
La manera más usual de representar una integral múltiple es anidando signos de integración en el orden inverso al orden de ejecución (el de más a la izquierda es el último en ser calculado), seguido de la función y los diferenciales en orden de ejecución.El dominio de integración se representa sobre cada signo de integral, o a menudo es abreviado por una letra en el signo de integral de más a la derecha:
Es importante destacar que no es posible calcular la función primitiva o antiderivada de una función de más de una variable por lo que las integrales múltiples indefinidas no existen.
Una integral doble se puede usar para hallar elvolumen de una región sólida que se encuentra en el plano “xy” y la superficie dada por z = f (x, y).
Propiedades de las integrales dobles:
Las integrales dobles tienen muchas de las propiedades de las integrales simples.
Evaluación de integrales dobles:
Para evaluar cuando es una región tipo 1, escogemos un rectángulo que contiene a . Debemos hacer que sea la función dada por la...
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