integrales múltiples

3

INTEGRACIÓN MÚLTIPLE ....................................................................................... 125
3.1

INTEGRALES DOBLES ................................................................................................. 125

3.2

SUMAS DE RIEMANN…………………………………………………………….………………………………126

3.3

TEOREMA DE INTEGRABILIDAD................................................................................. 127

3.4

PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DOBLE. .................................................................... 127

3.5

INTEGRAL ITERADA ................................................................................................... 128

3.6

INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES NO RECTANGULARES ................................. 135

3.7INTEGRALES DOBLES SOBRE CONJUNTOS GENERALIZADOS………………………………….136

3.8

AREA…………………………………………………………………………………………….…………….………..139

3.9

VOLUMEN .................................................................................................................. 142

3.10

INTEGRALES DOBLES EN COORDENADAS POLARES .................................................. 146

3.11

AREA DESUPERFICIES................................................................................................ 152

3.12 INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS RECTANGULARES.......... ¡Error! Marcador no
definido.60
3.13 INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS CILÍNDRICAS…………………………………………….172
3.14 INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS ESFÉRICAS……………………………..………………….181

Elaborado por Ing. Victor Huilcapi

Página 124

4.INTEGRACIÓN MÚLTIPLE

3.1 INTEGRALES DOBLES
Sea f(x, y) una superficie tridimensional que se proyecta sobre un Rectángulo
R con lados paralelos a los ejes de coordenadas, luego de lo cual formamos
una participación P de R al trazar rectas paralelas a los ejes X y Y y dividir a R
en n sub rectángulos, a los cuales los denotamos por RK, K=1, 2, 3, …., n.
Ahora
serán las longitudes de loslados de un RK como se muestra en
la figura y
su área, entonces elijo un punto muestra (̅̅̅ ̅̅̅) y
formamos las sumas de Riemann.

y k

P

xk

RECTÁNGULO AMPLIADO

P

es la longitud de la mayor diagonal de cualquier sub rectángulo de la

partición, y

xk , y k

es un punto de muestra en el subrectángulo elegido

Elaborado por Ing. Victor Huilcapi

Página 125

3.2 SUMASDE RIEMANN
n

f (x , y
k

k 1

k

)AK = Suma de los volúmenes de las “n” primas, si

Entonces ya podemos hacer una definición formal de la integral doble; de forma
análoga a la integral simple
DEFINICIÓN:
Sea z  f ( x, y ) una función de 2 variables definida en un rectángulo cerrado R.
n

lim
Si P 0
Así,

f (x
k 1

k

, y k )Ak existe, decimos que f es integrableen R.

 f ( x, y )dA es la integral doble de f en la región R, y está dada por
R

n

 f ( x, y )dA  lim  f ( x , y
P 0

R

k 1

k

k

)Ak
∫

Ahora recuerde que para una sola variable si
representaba el área de la región bajo la curva

entre a y b.

De forma similar si f ( x, y )  0 entonces haciendo analogía

 f ( x, y )dA
R

representa el volumen delsólido bajo la superficie
rectángulo R.

, y sobre el

V   f ( x, y )dA
R

NOTA: No toda función de 2 variables es integrable en un Rectángulo dado R.
En Particular una función que no esté acotada en R no es integrable.

Elaborado por Ing. Victor Huilcapi

Página 126

3.3 TEOREMA DE INTEGRABILIDAD
Si f es acotada en el intervalo [a,b] y si f es continua, excepto en un númerofinito de puntos, entonces f es integrable en [a,b]. En particular, si f es continua
en todo el intervalo [a,b], es integrable en [a,b].

3.4 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DOBLE

LINEALIDAD

 K * f ( x, y )dA K  f ( x, y )dA
R

Donde K es una constante

R

 f ( x, y )  g( x, y )dA  f ( x, y )dA   g( x, y )dA
R

R

R

ADITIVIDAD
R
R1

R2

 f ( x, y )dA  f...