integrales


A continuación vamos a definir el trabajo por una fuerza f a lo largo de un camino contenido en R2 y en R3, respectivamente.
1. Si una partícula se mueve a lo lago de una curva por acción de unafuerza , entonces el trabajo W realizado por a lo largo de C viene

Dado por:

2. Si una partícula se mueve a lo largo de una curva por acción de una fuerza

Entonces el trabajo Wrealizado por a lo largo de C viene dado por :


Ejemplo 1.
Calcular el trabajo que realiza el campo de fuerzas:
para trasladar una partícula alrededor de la circunferencia una sola vez, siendo elrecorrido en sentido antihorario.
Solución:
Se pide
En primer lugar debemos parametrizar la circunferencia en sentido antihorario.
La parametrización es

Necesitamos el diferencial deEntonces, el trabajo es:







Ejemplo 2.
Hallar el trabajo que realiza la fuerza:
para mover una partícula en sentido antihorario a lo largo de la parte de la elipse que se halla con elprimer cuadrante.
Solución:
Se pide hallar el trabajo
.Necesitamos parametrizar parte de la elipse que se halla en el primer cuadrante:


La prametrización del arco de la elipse, esDonde:


.Ya podemos integrar:


Ejemplo 3.
En cada plano, el punto material actúa la fuerza cuyas proyecciones sobre los ejes de coordenadas son iguales a X=xy , Y=x+y. Calcular el trabajo dela fuerza al desplazarse el punto desde el origen de coordenadas hasta el punto (1,1) a lo largo de :
1) La recta y=x
2) La parábola y=x2;
3) Una línea quebrada de dos escalares cuyos lados sonparalelos a los ejes de coordenadas (considerar dos casos).
Solución:
El resultado de 1)es4/3 , de 3) 3/2 y 1
Resolviendo 2)
Se pide hallar el trabajo
Para ello, necesitamos la función , quees,
También, necesitamos la ecuación paramétrica de la parábola y=x2 desde el punto (0,0) hasta el punto (1,1):
Haciendo x=t se obtiene y= t2. Entonces la parametrización de la parábola es:...