Integrales

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
UNIVERSIDAD SANTA MARIA
EXTENSION BARCELONA
FACULTAD DE FACES

Integrales Definidas

INTEGRANTES:

Profesora:
Lismary Gil
Sección: A
Barcelona, enero de 2012
INTEGRALES DEFINIDAS
La integral definida es un número que no depende de X. Se puede utilizar cualquier letra en lugar de x sin que cambie el valor de la integral. Para realizar el cálculo deáreas con integrales definidas podemos subdividir con rectángulos la superficie que queremos hallar. Así se obtiene un área que es la suma de las áreas de los rectángulos.

La integral definida había sido definida y usada con mucha anterioridad a la época de Riemann, pero él generalizó el concepto para poder incluir más tipos de funciones.

Es importante tener en cuenta que:

Si una funciónf es continua en un intervalo, entonces f es integrable en ese intervalo. Si f tiene un número finito de discontinuidades, pero se mantiene acotada para todo x del intervalo, entonces es integrable en el intervalo.
INTEGRAL DE RIEMANN
Una función f acotada definida en un intervalo [a, b] se dice que es Riemann integrable en [a, b] si existe un número I en los reales tal que, para todo númeroreal positivo ε existe una δ positiva tal que si P es una partición de [a, b] con ||P|| < δ y S(P,f) es cualquier suma de Riemann entonces |S(P, f) - I| < ε.
Usualmente para funciones conocidas que sabemos integrables se toma una partición regular del intervalo y se toman los tk como alguno de los puntos extremos de cada intervalo(notar que si no supiéramos que la función es integrableentonces no podríamos tomar cualquier punto del intervalo arbitrariamente, es decir, no podríamos tomar los valores extremos, tendríamos que revisar que para cualquier valor tk que tomáramos en cada intervalo [xk - 1, xk] la suma de Riemann menos algún número real I es menor en valor absoluto que cualquier ε que hubiéramos tomado, en caso de cumplirse habríamos demostrado que la función f es integrablesegún Riemann en [a, b] y habríamos hallado su valor; en caso de no cumplirse no habríamos probado nada en absoluto), cuando llevamos al límite esta partición, se puede demostrar que obtenemos el valor de la integral:

Esta última expresión es sobre todo útil para funciones que sabemos que son integrables como por ejemplo las continuas, podemos demostrar que toda función que es continua en unintervalo [a, b], es integrable, en cuyo caso lo único que restaría sería encontrar el valor de la integral, por supuesto si ya estamos familiarizados con el Segundo Teorema Fundamental del Cálculo entonces basta hallar una función F(x) (denominada "una primitiva" de f(x)) cuya derivada nos dé nuestra función original f(x) y entonces el valor de la integral es F(b)-F(a). No siempre podemos hallaruna función primitiva de la que estamos integrando, en esos casos se recurre a una expresión como la anterior o a métodos de aproximación

CONDICION NECESARIA Y SUFICIENTE PARA LA INTEGRABILIDAD DE RIEMANN

En este apartado nos referiremos a funciones acotadas en un intervalo cerrado [a,b] (igual que en los apartados anteriores).
Una función no ha de ser continua para ser integrable de Riemann(no obstante esta es una condición suficiente); de hecho una función continua en todo el intervalo salvo en un punto es integrable de Riemann, incluso una función con un número numerable de discontinuidades es integrable y en el caso extremo ciertas funciones con un número no numerable de discontinuidades pueden ser integrables. El siguiente teorema establece que una función es integrable si ysolo si su conjunto de discontinuidades se puede recubrir por conjuntos abiertos tales que la suma de sus anchuras puede hacerse arbitrariamente pequeña.

DEFINICIONES EQUIVALENTES

Existen definiciones que son equivalentes a la definición de integral de Riemann. Son equivalentes en el sentido de que podemos demostrar que una función es integrable respecto a una cierta definición si y sólo si...