Integrales

INTRODUCCION
La integración es un concepto fundamental de las matemáticas avanzadas, especialmente en los campos del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños.
El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o anti derivación, es muy común en laingeniería y en la matemática en general y se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.
Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René Descartes, Isaac Newton e Isaac Barrow. Los trabajos de este último y los aportes de Newton generaron el teorema fundamental del cálculo integral, que propone que la derivación y la integraciónson procesos inversos.
La integración se puede trazar en el pasado hasta el antiguo Egipto, circa 1800 a. C., con el papiro de Moscú, donde se demuestra que ya se conocía una fórmula para calcular el volumen de un tronco piramidal. La primera técnica sistemática documentada capaz de determinar integrales es el método de exhausción de Eudoxo (circa 370 a. C.), que trataba de encontrar áreas yvolúmenes a base de partirlos en un número infinito de formas para las cuales se conocieran el área o el volumen. Este método fue desarrollado y usado más adelante por Arquímedes, que lo empleó para calcular áreas de parábolas y una aproximación al área del círculo. Métodos similares fueron desarrollados de forma independiente en China alrededor del siglo III por Liu Hui, que los usó para encontrar elárea del círculo. Más tarde, Zu Chongzhi usó este método para encontrar el volumen de una esfera. En el Siddhanta Shiromani, un libro de astronomía del siglo XII del matemático indio Bhaskara II, se encuentran algunas ideas de cálculo integral.
Hasta el siglo XVI no empezaron a aparecer adelantos significativos sobre el método de exhausción. En esta época, por un lado, con el trabajo deCavalieri con su método de los indivisibles y, por otro lado, con los trabajos de Fermat, se empezó a desarrollar los fundamentos del cálculo moderno. A comienzos del siglo XVII, se produjeron nuevos adelantos con las aportaciones de Barrow y Torricelli, que presentaron los primeros indicios de una conexión entre la integración y la derivación.
Una de las cuestiones esenciales s que trata el cálculointegral es la siguiente:
«Encontrar las funciones F(x) que tienen como derivada una función dada f(x) que se supone continua en un intervalo cerrado [a, b]».
Nuestro objetivo es, pues, calcular funciones F(x) conociendo su derivada
f(x). Las funciones que buscamos, llamadas funciones primitivas de la función
f(x), verificarán, por tanto, la igualdad: F '(x) = f(x).
Ejemplo
F(x) = x 2 es unaprimitiva de f(x) = 2x, ya que ( )¢ x 2 = 2x.
Se puede verificar fácilmente por derivación que la función f(x) = 2x + 5 admite como funciones primitivas distintas a:
F (x) x 2 5x
1 = + ; ( ) 2 5 3
2 F x = x + x + ; F (x) = x 2 +5x + C
3 , siendo
C = constante.
Este ejemplo nos muestra que una función dada puede admitir una infinidad de primitivas. Supondremos en lo que sigue que una funcióncontinua admite al menos una función primitiva.

Los métodos más usuales de resolución de integrales son :
INTEGRACION POR PARTES
Este método permite resolver un gran número de integrales no inmediatas.
1. Sean u y v dos funciones dependientes de la variable x; es decir, u = f(x),
v = g(x).
2. La fórmula de la derivada de un producto de dos funciones, aplicada a f(x) · g(x), permiteescribir,
d(f(x) · g(x)) = g(x) · f'(x)dx + f(x) · g'(x)dx
3. Integrando los dos miembros,




Ésta no es la fórmula usual de la integración por partes. Puesto que u = f(x), du = f'(x)dx, y al ser v = g(x), dv = g'(x)dx. Llevando estos resultados a la igualdad anterior,



En ocasiones de manera directa no se pueden realizar las...