Interpolación 2D - Interpolación De Cuadrados

2008
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE VALENCIA ETS Ingeniería en Geodesia, Cartografía y Topografía Rafael Castellet Ginard

[INTERPOLACIÓN 2D]

Interpolación en 2D

Rafael Castellet Ginard

Interpolación en 2D Introducción

Rafael Castellet Ginard

El objetivo principal de este trabajo consiste en presentar la manera sistemática de generar una familia interpoladora de Lagrange deórdenes sucesivas para el caso de rectángulos.

Familia de elementos rectangulares
Considérese un elemento rectangular convexo Ω k de vértices consecutivos ( xik , y ik ), i = 1,2,3,4 . Tal y como se representa en la figura 1, puede imaginarse este rectángulo como la imagen del cuadrado [− 1,1] × [− 1,1] mediante una aplicación Φ k que se especificará más adelante. Tomando el cuadrado

[− 1,1]× [−1,1]

en las

coordenadas (ξ ,η ) como elemento de referencia para el caso de elementos finitos rectangulares.
η
(-1,1) (1,1) (x,y) = Φk(ξ,η)
k k ( x 2 , y 2 ) = Φ k (1,−1)

y

k k ( x3 , y3 ) = Φ k (1,1)

ΩR
ξ
k k ( x 4 , y 4 ) = Φ k ( −1,1)

ΩR
( x1k , y1k ) = Φ k ( −1,−1)

(-1,-1)

(1,-1)

x
Figura 1: Cambio de coordenadas entre ΩR y Ωk.

Para calcular las integralesque aparecen a la hora de determinar K ik, j y Fi k de las ecuaciones, K k ⋅ u k = F k + Q k , de un elemento arbitrario Ω k , una vez realizado el cambio de variable dado por Φ , tan sólo se necesita conocer las funciones ψ ik , y sus derivadas, respecto a las coordenadas (ξ ,η ) del elemento de referencia. Por este motivo, se analizarán las distintas posibilidades que se tienen en cuanto a lasfunciones del elemento de referencia.

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El elemento cuadrilátero bilineal
Dejando a un lado el elemento constante, que sería un cuadrado con un solo nodo en medio, el siguiente paso a considerar es el elemento cuadrilátero bilineal que consiste en un cuadrado con un nodo en cada uno de los vértices (ver figura 2 (a)). Al tener cuatro nodos como interpolantes para representar la solucióndentro de Ω k , se necesitan polinomios con cuatro coeficientes indeterminados. Lo que se hace es tomar polinomios de la forma P k (ξ ,η ) = a 0 + a1ξ + a 2η + a3ξη , es decir, el término no lineal se toma como ξη ya que, de esta manera, cuando se evalúe en los vértices

Interpolación en 2D

Rafael Castellet Ginard

(ξ = ±1 o η = ±1) se obtienen rectas del tipo b0 + b1ξ o c0 + c1η que tienenque quedar
determinadas por tener que interpolar los nodos extremos del lado. De este modo, se consigue que la función representada sea continua al cambiar de elemento.
4 3 7 6 5 10 9 8 7 7 6 5 10 9 8 7

11 8 9 4

16

15

6 8 4

11

6

12

13

14

5

12

5

1

2

1

2

3

1

2

3

4

1

2

3

1

2

3

4

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)Figura 2: Elementos cuadriláteros El hecho de incluir este término no lineal hace que una de las diferencias más importantes entre el elemento cuadrilátero bilineal respecto al elemento triangular lineal sea que para el elemento cuadrilátero los gradientes de la solución dentro del elemento ya no son constantes si no que son funciones afines de las coordenadas ξ oη :

∂P k = a1 + a3η ∂ξ

;∂P k = a 2 + a3ξ ∂η

En cuanto al cálculo de las funciones de la forma ψ iR (ξ ,η ) asociadas al elemento cuadrilátero bilineal de referencia, se supondrá que la solución sobre el elemento se expresa como U R (ξ ,η ) = a 0 + a1ξ + a 2η + a3ξη y se impondrá que interpole unos valores u iR , i = 1,2,3,4 dados a los vértices del cuadrado. Es decir, se impone,

u1R = a 0 − a1 − a 2 + a3
R u 2 = a 0+ a1 − a 2 − a3 R u 3 = a 0 + a1 + a 2 + a3 R u 4 = a 0 − a1 + a 2 − a3

Este sistema se resuelve fácilmente para las a, obteniéndose

a0 =

1 R R R R (u1 + u 2 + u 3 + u 4 ) 4 1 R R R a 2 = (−u1R − u 2 + u 3 + u 4 ) 4

1 R R R (−u1R + u 2 + u 3 − u 4 ) 4 1 R R R a 4 = (u1R − u 2 + u 3 − u 4 ) 4 a1 =

con lo que, agrupando términos, U R (ξ ,η ) puede escribirse como:

U R (ξ ,η )...