Interpolacion Polinomica

Universidad Nacional Experimental Politécnica
“Antonio José de Sucre”
Vicerectorado de Puerto Ordaz
Cátedra de Análisis Numérico
Seccion M1

INTERPOLACION LINEAL

Integrante:
Guzmán Mauricio
C.I.: 19.871.046
Ing. Electrónica

Puerto Ordaz, 22 de Junio de 2011
1. Sea f(x)= X con los nodos 1; 4; 9; 16. Encuentre los polinomios de
interpolación de Newton de grado a) uno b) dos c)tres; calcule el valor de
5 en cada uno de estos polinomios y halle el error relativo. (5 cifras significativas)

Solución:

Xi | 1 | 4 | 9 | 16 |
f(Xi) | 1 | 2 | 3 | 4 |

a)

f(Xi) | 5 |
2 | |
3 | 0,2 |

P(x)= 2 + 0,2 (X-4) = 0,2 X + 1,2
P(5)= 2,2
Er= |2,2361 – 2,2000| = 0,016144
2,2361
b)

f(Xi) | 3 | 12 |
1 | | |
2 | 0,33333 | |
4 |0,66666 | 0,027778 |

P(X)= 1 + 0,33333(X-1) + 0,027778(X-1)(X-4)
P(5)= 2,4444
Er= |2,2361 – 2,4444| = 0,08825
2,2361

c)


f(Xi) | 15 | 3 | 8 |
2 | | | |
4 | 1,6667 | | |
3 | -0.083333 | -0,050001 | |
1 | -1,6667 | -0,016667 | -0,011111 |

P(X)= 2 + 1,6667(X-4) – 0,050001(X-4)(X-16) – 0,011111(X-1)(X-16)(X-9)
P(5)= 2,2277
Er= |2,2361 – 2,2277| =0,0037565
2,2361

2. Con un polinomio de interpolación de LaGrange de primero, segundo y tercer grado. Evalúe 1,5; basándose en los datos dados a continuación:

Xo= 1 | f(Xo)= 1 |
X1= 2 | f(X1)= 1,414213 |
X2= 3 | f(X2)= 1,732050 |
X3= 4 | f(X3)= 2 |

Solución:

* Polinomio de primer grado:

Xo= 1 | f(Xo)= 1 |
X1= 2 | f(X1)= 1,414213 |

P1(X)= (X-2).(1) +(X-2).(1,414213) = -X – 2 + (1,414213)X – 1,414213
(1-2) (2-1)

P1(X)= (0,414213)X – 3,414213

P1(1,5)= -2,906906

* Polinomio de segundo grado:

Xo= 1 | f(Xo)= 1 |
X1= 2 | f(X1)= 1,414213 |
X2= 3 | f(X2)= 1,732050 |

P2(X)= (X-2)(X-3).(1) + (X-1)(X-3).(1,414213) + (X-1)(X-2).(1,732050)
(1-2)(1-3) (2-1)(2-3) (3-1)(3-2)P2(X)= -(0,096376)X2 + (1,11755)X + 0,978822
2

P2(1,5)= 1,101484

* Polinomio de tercer grado:

Xo= 1 | f(Xo)= 1 |
X1= 2 | f(X1)= 1,414213 |
X2= 3 | f(X2)= 1,732050 |
X3= 4 | f(X3)= 2 |

P3(X)= (X-2)(X-3)(X-4).(1) + (X-1)(X-3)(X-4).(1,414213)
(1-2)(1-3)(1-4) (2-1)(2-3)(2-4)
+ (X-1)(X-2)(X-4).(1,732050) +(X-1)(X-2)(X-3).(2)
(3-1)(3-2)(3-4) (4-1)(4-2)(4-3)

P3(X)= (4,376614)X3 – (36,87894)X2 + (64,48579)X – 31,98347
6

P3(1,5)= -0,04714783

3. Aproxime y= 1 + X _
1 + 2X + 3X2 para Xє[0,5] mediante la interpolación de LaGrange de orden 4, luego evalúe elerror según E(x) = y – g(x), donde g (x) es el polinomio de LaGrange. Aproxime y(2) y compare con el valor exacto. (5 cifras decimales)

Solución:

X= 0,2

f(0,2)= 0,78947

Xi | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
f(Xi) | 1 | 0,33333 | 0,17647 | 0,11765 | 0,087739 |

h= Xn – X0 = 4 – 0 = 1 S= X – X0 = 0,2 – 0 = 0,2
n 4 h1

ℓ0(S) = (S-1)(S-2)(S-3)(S-4) = 1 .(S-1)(S-2)(S-3)(S-4) = 0,6384
(0-1)(0-2)(0-3)(0-4) 24

ℓ1(S) = S(S-2)(S-3)(S-4) = 1 . S(S-2)(S-3)(S-4) = 0,6384
(1-0)(1-2)(1-3)(1-4) -6

ℓ2(S) = S(S-1)(S-3)(S-4) = 1 . S(S-1)(S-3)(S-4) = -0,4256
(2-0)(2-1)(2-3)(2-4) 4

ℓ3(S) = S(S-1)(S-2)(S-4) = 1 . S(S-1)(S-2)(S-4) = 0,1824(3-0)(3-1)(3-2)(3-4) -6

ℓ4(S) = S(S-1)(S-2)(S-3) = 1 . S(S-1)(S-2)(S-3) = -0,0336
(4-0)(4-1)(4-2)(4-3) 24

P4(X) = i=04liS.f(Xi) = (0,6384)(1) + (0,6384)(0,33333) – (0,4256)(0,17647) +
(0,1824)(0,11765) – (0,0336)(0,087719)

P4(X) = 0,79461

E(X) = |0,78947 – 0,79461| = 0,00514

* Para y(2)

X=2 f(X)=...