Interpolacion

Interpolación racional
Una Función racional , de grado , es un cociente de polinomios cuyos grados suman .

La primera forma de obtener esta función racional se parece más a una interpolación que a una aproximación, propiamente dicha. Supongamos que son puntos, ninguno de los cuales es igual al punto , en torno al cual se obtiene la interpolación. Queremos que y coincidan en el conjunto .Para que exista en , debe ser y podemos suponer, sin pérdida de generalidad, que . Por otra parte, al sustituir por , se obtiene . Así pues, el punto ya ha sido utilizado y no intervendrá en los cálculos siguientes. Si sustituimos en , cada uno de los puntos y exigimos que el resultado sea, en cada caso, el valor de en dichos puntos, obtendremos el sistema de ecuaciones:Interpolación trigonométrica
En matemática, la interpolación trigonométrica es una interpolación con polinomios trigonométricos+. La interpolación es el método por el cual se encuentra una función a partir de un conjunto de puntos. Para la interpolación trigonométrica, esta función tiene que ser un polinomio trigonométrico; es decir, una suma de senos y cosenos de un período dado. Esta forma esespecialmente apropiada para la interpolación de funciones periódicas.
Un caso especial es aquel en el que los puntos tienen el mismo espacio entre sí; en tal caso la solución está dada por una transformada discreta de Fourier.

Formulación del problema de interpolación
Es posible usar en lugar de polinomios ordinarios, , funciones trigonométricas. En general, tales polinomios trigonométricos tendrán laforma:
.
Nótese, que dicha expresión tiene 2n + 1 coeficientes indeterminados, a0, a1,… an, b1,…, bn, y deseamos calcular dichos coeficientes de forma que la función pase por los 2n + 1 puntos:

Como las funciones trigonométricas son periódicas con periodo 2π, tiene sentido asumir que:


Solución del problema
Los coeficientes quedan entonces determinados por las ecuaciones que definenun sistema de 2n + 1 ecuaciones lineales y que tendrá solución única si todos los puntos xk son distintos. La solución puede escribirse en forma similar a la fórmula de interpolación polinómica de Lagrange:

Mediante identidades trigonométricas puede demostrarse que esta expresión es un polinomio trigonométrico.







Anexos
Interpolación Polinomica de Lagrange
1) Se desea interpolaren los puntos





Con cinco puntos, el polinomio interpolador tendrá, como máximo, grado cuatro (es decir, la máxima potencia será cuatro), al igual que cada componente de la base polinómica.
La base polinómica es:








Así, el polinomio interpolador se obtiene simplemente como la combinación lineal entre los y los valores de las abscisas:La función tangente es de color azul y el interpolador es de color verde
2) Obtener el polinomio interpolador de Lagrange para cierta función f de la que conocemos que: f (-1)=1; F (0)=-1; f (2)=2 y f (3)=2.
Solución:
En primer lugar los polinomios de Lagrange

Po (x)=(x-0)(x-2)(x-3)/(-1-0)(-1-2)(-1-3) =¬¬((x)(x-2)(x-3))/(-12)

P1 (x)=(x+1)(x-2)(x-3)/(0+1)(0-2)(0-3)=¬¬((x+1)(x-2)(x-3))/6

P2 (x)=(x+1)(x-0)(x-3)/(2+1)(2-0)(2-3) =¬¬((x+1)(x)(x-3))/(-6)

P3 (x)=(x+1)(x-0)(x-2)/(3-0)(3+1)(3-2) =¬¬((x+1)(x)(x-2))/12

Ahora el polinomio interpolador:

P (x)=1(x)(x-2)(x-3)/(-12)-1 (x+1)(x-2)(x-3)/6+2(x+1)(x)(x-3)/(-6)
+2(x+1)(x)(x-2)/12

P(x)= (-1)/12 (〖5x〗^3 –〖19x〗^2 + 12)

Interpolación con Diferencias Divididas de Newton
1) Dados los pares:
xi 1 35 6

fi 2/3 1 -1 0

Usamos en la siguiente base
{1,x-1,(x-1)(x-3),(x-1)(x-3)(x-5) }.
Buscamos un polinomio
P(x)=C0+C1(x-1)+C2(x-1)(x-3)+C3(x-1)(x-3)(x-5)
tal que P (xi) = fi para x0,. . ., x3. La elección de esta base nos permite hallar los coeficientes Ci directamente ya que en cada paso conocemos todos los coeficientes que aparecen menos el último:

P (1)=2/3...