Introducción a las transformaciones lineales


5.1 Introducción a las transformaciones lineales

Una transformación es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector para convertirlo en otro vector.
Los espacios vectoriales son conjuntos con una estructura adicional, al saber, sus elementos se pueden sumar y multiplicar por escalares del campo dado, conviene utilizar funciones que preserven dicha estructura. Estas funcionesse llamaran transformaciones lineales, las transformaciones lineales se pueden representar en términos de matrices, y viceversa.
Se denomina transformación lineal a toda función cuyo dominio e imagen sean espacios vectoriales y se cumplan las condiciones necesarias. Las transformaciones lineales ocurren con mucha frecuencia en el álgebra lineal y en otras ramas de las matemáticas, tienen una granvariedad de aplicaciones importantes. Las transformaciones lineales tienen gran aplicación en la física, la ingeniería y en diversas ramas de la matemática.
Así como cuando se estudian las funciones reales interesan especialmente las funciones continuas, cuando se estudian funciones de un espacio vectorial en otro interesan aquellas que poseen ciertas propiedades especiales, por ejemplo las queconservan operaciones. Es decir, que la función sea tal que "conserve" las dos operaciones fundamentales que definen la estructura de espacio vectorial.
En síntesis, podemos dar la siguiente definición:
Una función T: V W (de un espacio vectorial V en un espacio vectorial W) 
se dice una transformación lineal si, para todo a, b Î V, 
k Î  K (K es el cuerpo de escalares) se tiene:

T (a + b)= T (a) + T (b)
T (k a) = k T (a)
que se puede resumir en T (a a + b b) = a T (a) + b T (b), llamada propiedad de linealidad.
Si T: V  W es una transformación lineal, el espacio V se llama dominio de T y el espacio W se llama codominio de T.
Ejemplo:
A partir de la definición, analicemos si es lineal la siguiente transformación:

T: R2  R3 / " x Î  R2 : T ((x1, x2)) = (x1 + x2, x1 - x2,x2)

Se deben verificar las dos condiciones de la definición:

a) ¿ " x, y Î  R2 : T (x + y) = T (x) + T (y) ?

x = (x1, x2)
y = (y1, y2) 
x + y = (x1 + y1, x2 + y2) 

T (x + y) = T (x1 + y1, x2 + y2) = (x1 + y1 + x2 + y2, x1 + y1 - x2 - y2, x2 + y2) =
                                           = (x1 + x2, x1 - x2, x2) + (y1 + y2, y1 - y2, y2) = T (x) + T (y)

b) ¿ " x Î  R2, " k Î  R: T (k x) = k T (x) ?

T (k x) = T (k (x1, x2)) = T (k x1, k x2) = (k x1 + k x2, k x1 - k x2, k x2) = 
                                = k (x1 + x2, x1 - x2, x2) =
                                = k T (x)

Se verifican las dos condiciones de la definición, entonces la transformación es lineal. 


Clasificación de las transformaciones lineales

Recordemos que las transformacioneslineales son funciones, y como tales, pueden ser suryectivas, inyectivas o biyectivas. Gráficamente, 
 



Transformación suryectiva
Transformación inyectiva
Transformación biyectiva


Se dice que:
T: V  W es un monomorfismo si, y sólo si, T es inyectiva. Es decir, T es un monomorfismo si y sólo si u, v Î V: T(u) = T(v)  u = v.
T: V  W es un epimorfismo si, y sólo si, T es sobreyectiva.Es decir, T es un epimorfismo si y sólo si w Î W,  v Î V / w = T(v).

T: V  W es un isomorfismo si, y sólo si, T es biyectiva. Es decir, T es un isomorfismo si y sólo si es un monomorfismo y un epimorfismo.
T: V  W es un endomorfismo si y sólo si V = W.
T: V  W es un automorfismo si y sólo si T es un isomorfismo y un endomorfismo.



5.2 Núcleo e imagen de una transformación linealSea 
una transformación lineal. Se define el Kernel o Núcleo de la transformación lineal, denotado por  al conjunto de las preimágenes del vector nulo, es decir

Ejemplo Hallar el conjunto de las preimágenes del vector nulo para la transformación lineal

Solución: Necesitamos determinar los vectores 
de 
tales que

Evaluando 

es decir,

luego, utilizando la matriz asociada al...