Transformaciones Lineales

Páginas: 7 (1540 palabras) Publicado: 17 de junio de 2012
INSTITUTO TECNOLOGICO DE ZACATEPEC
TRABAJO: TRANSFORMACIONES LINEALES
PROFESOR: CÀMPOS FERNÀNDEZ ANTONIO
MATÈRIA: ALGEBRA LINEAL

CARRERA: INGENIERIA CIVIL

INDICCE
5.1- INTRODUCCIÒN A LAS TRANSFORMACIONES LINEALES.
5.2- NUCLEO E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACIÒN LINEAL.
5.3- LA MATRIZ DE UNA TRANSFORMACIÒN LINEAL
5.4 -APLICACIÓN DE LAS TRANSFORMACIONESLINEALES: REFLEXIÒN, DILATACIÒN, CONTRACCIÒN Y ROTACIÒN.
5.1 INTRODUCCIÒN A LAS TRANSFORMACIONES LINEALES:

Una transformación es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector para convertirlo en otro vector.
Los espacios vectoriales son conjuntos con una estructura adicional, al saber, sus elementos se pueden sumar y multiplicar por escalares del campo dado, conviene utilizarfunciones que preserven dicha estructura. Estas funciones se llamaran transformaciones lineales y en el presente capitulo las estudiaremos. Mas adelante mostraremos que las transformaciones lineales se pueden representar en términos de matrices, y viceversa.
Se denomina transformación lineal a toda función cuyo dominio e imagen sean espacios vectoriales y se cumplan las condiciones necesarias. Lastransformaciones lineales ocurren con mucha frecuencia en el álgebra lineal y en otras ramas de las matemáticas, tienen una gran variedad de aplicaciones importantes. Las transformaciones lineales tienen gran aplicación en la física, la ingeniería y en diversas ramas de la matemática.

Ejemplo de transformaciones lineales

1. Una casa editora publica un libro en tres ediciones diferentes:cubierta dura, cubierta blanda y cubierta de lujo.  Cada libro requiere cierta cantidad de papel y de material para la cubierta. Los requisitos están dados en gramos por la siguiente matriz:

  | Cubiertadura | Cubiertablanda | Cubierta de Lujo |
 Papel |  300 |  500 |  800 |
 Material para la cubierta |   40 |  50 |  60 |                                                                                                                                                                                                                      
 
 
 
Deja que  represente el vector producción, donde x1, x2, x3 representan el número de libros con cubierta dura, cubierta blanda y cubierta de lujo respectivamente, que se publican.  La transformación lineal T: R3 → R2 definida por T(x) = Ax  nos da el vector , donde y1 representa la cantidad total de papelrequerido y y2 la cantidad de material para la cubierta.  Suponga que  , entonces,

 
Por lo que se requiere 810,000 gramos en papel  y  87,000 gramos en material para la cubierta.
 

5.2 NUCLEO E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACIÒN LINEAL.

Sean V y W espacios vectoriales sobre el mismo campo K y T una transformación lineal de V en W. El núcleo o kernel de T es:N ( T ) ( Ker T ) = { v Î V : T ( v ) = 0 w }
Si T: V -> W es lineal, se define el núcleo y la imagen de T de la siguiente manera:

Es decir que el núcleo de una transformación lineal está formado por el conjunto de todos los vectores del dominio que tienen por imagen al vector nulo del condominio.

* El núcleo de toda transformación lineal es unsubespacio deldominio:

1.- dado que T(0V) = 0W

2.- Dados 

3.- Dados

Se denomina nulidad a la dimensión del núcleo. Nulidad (T) = dim (Nu (T))

O sea que la imagen de una transformación lineal está formada por el conjunto de todos los vectores del codominio que son imágenes de al menos algún vector del dominio.
La imagen de toda transformación lineal es un subespaciodel codominio.
El rango de unatransformación lineal es la dimensión de la imagen.
rg(T) = dim(Im(T))

 Sea T:V->W una transformación lineal de V en W; se define el núcleo de T como

Nótese que N(T) es un subespacio de V. Por otro lado, se define la imagen de T como 

Im(T)es un subespacio de W. Si A es un subespacio de V y Bes un subespacio de W,...
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