Introducci N A La Derivaci N E Integraci N

Cap´ıtulo 4

Derivadas e Integrales
4.1.

Introducci´
on a la derivaci´
on

En este cap´ıtulo presentaremos los conceptos m´as b´asicos del c´alculo diferencial e
integral. Este cap´ıtulo se divide en dos grandes partes. La primera parte que trata con
el concepto de la derivada, y la segunda parte que introduce el concepto de la integral.
Adem´as, se ver´a el nexo que existe entre ambos conceptosa trav´es de un muy importante
teorema.

4.1.1.

Derivada de una funci´
on

Si tuvi´esemos que definir a la derivada de una funci´on en pocas palabras, dir´ıamos
que representa su tasa de crecimiento. Es decir, la derivada de una funci´on nos dice, de
alguna manera, cu´anto cambia la funci´on(variable dependiente) a medida que cambia la
variable independiente. La derivada de una funci´on nosdir´a si una funci´on crece o decrece
r´apidamente o lentamente. Para introducir el concepto de derivada de una funci´on, mejor
comenzaremos describiendo el significado geom´etrico que tiene, para luego definirla m´as
correctamente.
Significado geom´
etrico de la derivada
Consideremos una funci´on lineal como f (x) = mx+n. Sabemos que la pendiente de la
recta descrita por esta funci´on es constante eigual a m. Es decir, la tasa de crecimiento de
esta funci´on es constante y vale m. Decimos que la derivada de esta funci´on es constante
para todo x y vale m.
Consideremos ahora, a modo de ejemplo, la funci´on cuadr´atica f (x) = x2 . Cu´al es la
tasa de crecimiento de esta funci´on. Al graficar esta funci´on(una par´abola) nos damos
cuenta que su tasa o ritmo de crecimiento no es constante. Amedida que nos alejamos del
origen a lo largo del eje x hacia la derecha, esta funci´on crece y crece cada vez m´as r´apido.
¿Como poder medir m´as cuantitativamente esta tasa de crecimiento? Consideremos los
siguientes dos puntos de la par´abola:
P1 (1, f (1)) = P1 (1, 1)

112

Derivadas e Integrales
P2 (2, f (2)) = P2 (2, 4)

Una buena manera de medir cuanto cambia la funci´on f (x) al ir de x = 1a x = 2 es
calcular la pendiente de la recta que une los puntos (1, 1) y (2, 4). Dicha pendiente vale:
4−1
=3
2−1

m=

Esta pendiente representa la tasa de crecimiento ”promedio”de la funci´on al ir de x = 1
a x = 2 ya que la funci´on crecer´a m´as lentamente cerca de x = 1 y m´as r´apidamente
cerca de x = 2. ¿Como poder saber, de mejor manera cuanto crece f (x) cerca de x = 1.
F´acil.Consideremos un punto m´as cercano que P2 al punto P1 . A decir, consideremos el
punto
P3 (1,5, f (1,5)) = P3 (1,5, 2,25)
Repitiendo el c´alculo para la pendiente promedio entre los puntos P1 y P3 , encontramos
que:
1,25
2,25 − 1
=
= 2,5
m=
1,5 − 1
0,5
Notemos que al ir considerando un punto, llamado Pk , cada vez m´as cercano a P1 , la
recta que une P1 con Pk se asemeja cada vez m´as con la recta tangentea P1 . Decimos
que en el l´ımite, la recta que une los puntos P1 y Pk es la recta tangente a la curva en P1 .

4

3

recta tangente
a y=x2 en P1

2

1

P1
-2

-1

1

2

´trica de derivada) La derivada de una funci´
Definicion 1 (geome
on f (x) en x◦ se
define como la pendiente de la recta tangente al gr´
afico de f (x) en el punto (x◦ , f (x◦ )).

4.1.2.

Noci´
on de l´ımite

Entender el conceptode l´ımite es fundamental en cualquier curso serio de c´alculo.
Sin ir m´as all´a, la derivada es un l´ımite. Pero, ¿ qu´e es un l´ımite ? Al estudiar series
ya introducimos, sin darnos cuenta, la noci´on de l´ımite. Por ejemplo, consideremos la
siguiente suma :
1 1 1
1
Sn = + + + · · · + n
2 4 8
2
¿Qu´e pasaba si n crec´ıa al infinito? Esta suma se transformaba en una serie geom´etrica
cuyo valorsabemos que es 1. Matem´aticamente, esto se expresa como:
l´ım Sn = 1

n→∞

4.1 Introducci´
on a la derivaci´
on
x
±1
± 0.5
± 0.1
± 0.05
± 0.01

113

f(x)
0.8415
0.9589
0.9983
0.9996
0.9999

Este es un caso particular de l´ımite.
De modo m´as general, decimos que el l´ımite de una funci´on f (x) cuando x tiende a a es
L, si al acercarnos a x=a podemos hacer que f(x) se acerque a L tanto como...