Introduccion Al Control Optimo

Cap´tulo 9 ı ´ ´ Introduccion al Control Optimo
´ 9.1. Introduccion
˜ ´ El m´ todo de diseno combinado de observador y realimentacion de estados que vimos e en el cap´tulo pasado es una herramienta fundamental en el control de sistemas en variable ı de estados. Sin embargo, no es siempre el m´ todo m´ s util; tres dificultades obvias: e a ´ ´ ˜ ´ 1. La traduccion de especificaciones de diseno aubicacion de polos no es directa, espe´ cialmente en sistemas complejos; ¿cu´ l es la mejor configuracion de polos para espea cificaciones dadas? ´ ´ 2. Las ganancias de realimentacion en sistemas MIMO no son unicas; ¿cu´ l es la mejor a ´ ganancia para una configuracion de polos dada? 3. Los autovalores del observador deben elegirse m´ s r´ pidos que los del controlador, a a ´ ´ pero, ¿tenemos alguncriterio adicional para preferir una configuracion a otra? ´ Los m´ todos que introduciremos en este cap´tulo dan respuestas a estas preguntas. Veree ı ´ mos que las ganancias de realimentacion de estados y del observador pueden elegirse de ´ forma que minimicen un criterio de optimizacion dado. El criterio particular que veremos es un funcional cuadr´ tico del estado y la entrada de a control,
TJ ( x(t), u(t)) =
t

xT (τ ) Qx(τ ) + uT (τ ) Ru(τ ) dτ,

donde Q y R son matrices constantes (aunque no necesariamente) semi-definida y definida positivas respectivamente. El control que se obtiene de minimizar este criterio es lineal. Como el criterio se basa en funcionales cuadr´ ticos, el m´ todo se conoce como lineal-cuadr´ tico (LQ: linear-quadratic), a e a del que se obtiene elregulador lineal cuadr´ tico (LQR). a ´ ˜ ´ Criterios similares de optimizacion se siguen para el diseno de observadores, solo que el ´ ´ funcional depende del error de estimacion, y se basa en una caracterizacion estad´stica de ı ´ los ruidos que afectan al sistema. Este estimador optimo lineal-cuadr´ tico se conoce como a el filtro de Kalman. ´ Cuando se combinan la ganancia de realimentacion deestados LQ con el filtro de Kalman, obtenemos lo que se conoce como un controlador lineal-cuadr´ tico-gaussiano (LQG). (Lo a ´ de gaussiano viene de la caracterizacion estad´stica del ruido empleada.) ı Como material de estudio para este cap´tulo recomendamos Bay [1999, Cap´tulo 11] y ı ı Friedland [1986, Cap´tulos 9, 10 y 11]. ı 174

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Notas de CAUT2 - 1759.1.1.

El Principio de Optimalidad

´ Para entender la idea de criterio de optimizacion en variable de estados, la introduciremos con sistemas de tiempo discreto, que son m´ s simples. a El estado de un sistema discreto describe una trayectoria haciendo transiciones discretas de un estado a otro bajo el efecto de una entrada tambi´ n aplicada en tiempo discreto. e ´ ´ Cuando se asocia uncriterio de optimizacion al sistema, cada transicion de estado tiene asociado un costo o penalidad. Por ejemplo, pueden penalizarse las transiciones de estado que se alejan demasiado del estado final deseado, o las acciones de control de valores demasiado elevados. A medida que el sistema evoluciona de estado en estado, los costos se suman hasta acumular un costo total asociado a la trayectoria.Ilustramos el concepto con el grafo de la Figura 9.1, que representa 8 estados de un sistema discreto con sus transiciones posibles. El estado inicial es el 1, y el final el 8. El sistema pasa de un estado a otro en cada tiempo k determinado por la entrada u[k] y las ecuaciones x[k + 1] = Ax[k] + Bu[k]. Las transiciones posibles se representan por los arcos que conectan el estado inicial al final a trav´ sde los ese tados intermedios. El costo asociado a 4 ´ cada transicion se representa con la le2 7 tra J; por ejemplo, el costo de moverse 8 1 del estado 3 al 5 es J35 . 5 Asumiendo que los costos se acuJ13 6 J68 3 mulan en forma aditiva, vemos que la J35 J56 trayectoria marcada en rojo, por ejemplo, tiene un costo total J13 + J35 + J56 + J68 . Como hay varias rutas alternativas del estado 1 al 8,...