Introduccion De Fundamentos De Planeacion

Calculo Diferencial

UNIDAD I
Los Números Reales

UNIDAD II
Funciones

UNIDAD III
Límites y continuidad

UNIDAD IV
Derivadas

UNIDAD V
Aplicaciones de la derivada

L. M. Clemente Hernández Santiago

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Calculo Diferencial

“Nada tan satisfactorio como el éxito alcanzado
con el esfuerzo propio”

L. M. Clemente Hernández Santiago

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Calculo DiferencialUNIDAD I
Los números Reales
1.1Clasificación de los números Reales


 Naturales
 Racionales 
 Enteros



Números reales 


 Irracionales


Números Naturales = { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,… }
Números enteros = {…-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,…}
1113
Números Racionales = { - , , , , -3, 4, 7, 12, …}
2534
3
Números Irracionales = {  , 2, 3 , 5 , 3 2 , 2 …}



De lo anterior se puede deducir que:
Los números racionales, contiene a los decimales finitos, decimales infinitos
periódicos, y a los enteros.
Los números Irracionales, contiene a los decimales infinitos no periódicos.
DEFINICIÓN: Los números racionales son aquellos que se pueden expresar
como el cociente de dos números enteros.

L. M. Clemente HernándezSantiago

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1.1.1 Proposiciones de los números Reales
Proposición 1: Una igualdad no e altera si sumamos o multiplicamos en ambos
lados de la igualdad a un mismo número.
Proposición 2: Los axiomas para la adición implica las siguientes igualdades
1) Si x+y = x+z, entonces y = z.
2) Si x+y = x, entonces y = 0.
3) Si x+y = 0, entonces y = -x
4) –(-x) = -xProposición 3: Los axiomas para la multiplicación implica las siguientes
Igualdades.
1) Si x  0 y xy=xz, entonces y = z.
2) Si x  0 y xy = x, entonces y = 1
1
3) Si x  0 y xy = 1, entonces y 
x
Proposición 4: Un campo ordenado es un campo F que a su véz es un
Conjunto ordenado, y que tiene las siguientes propiedades.
1) x+y 0 y y > 0
Proposición 5: En todo campo ordenado se cumple lassiguientes
Desigualdades.
1) Si x > 0, entonces –x < 0 y viceversa
2) Si x > 0 y y < z, entonces xy < xz
3) Si x < 0 y y < z, entonces xy > xz
4) Si x  0 , entonces x 2  0
11
5) Si 0 < x < y, entonces 0 < <
yx

1.2

Tipos de Intervalos

Para hablar de intervalos es necesario que utilicemos la palabra y notación de
conjuntos.
Definición: Un conjunto es una colección de objetos,conocidos como los
elementos del conjunto.
En particular si S denota a un conjunto de objetos, la notación:
a  S significa que “ a pertenece al conjunto S”
a  S significa que “ a no pertenece al conjunto S”

L. M. Clemente Hernández Santiago

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Calculo Diferencial
Ciertos conjuntos de números reales, conocidos como intervalos, se presentan
con frecuencia en el cálculo ygeométricamente corresponden a segmentos de
recta.

A) Intervalo Abierto: Es un subconjunto del eje real comprendido entre dos
puntos dados a y b , donde a  b sin incluir a los extremos.

(a, b)  x / a  b; a, b  R
B) Intervalo Cerrado: Es un subconjunto del eje real limitado por los extremos
a y b , donde a  b y sí incluye a los extremos.

a, b  x / a  x  b; a, b  R
C) IntervaloMixto: Es un subconjunto del eje real que tiene un extremo
abierto y otro cerrado.

a, b  x / a  x  b; a, b  R
a, b  x / a  x  b; a, b  R
1.3

Desigualdades

El tema de desigualdades es de gran importancia, según veremos en muchas
partes del álgebra, y también observaremos ciertas analogías entre igualdades y
desigualdades.
Al concepto de mayor y menor entre dos númeroscorresponde el de ordenación.
La relación de orden queda restringida a los números reales y se puede interpretar
geométricamente en un sistema coordenado unidimensional.
Al decir que una expresión es mayor que otra se deduce una desigualdad.
NOTA: A diferencia de las ecuaciones, generalmente una desigualdad tiene una
infinidad de soluciones que forma un intervalo o una unión de estos sobre...