Introduccion A La Integracion Sobre Variedades

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMÓN
FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA
CARRERA DE INGENIERÍA MATEMÁTICA

Introducción a la Integración sobre Variedades:
Una Aplicación de las Formas Diferenciales

Presentado por: C ECILIA O RELLANA C ASTRO

Tutor: Mgr. Tito Mejia Paredez

COCHABAMBA

- BOLIVIA Enero, 2012

DEDICATORIA

A

AGRADECIMIENTO

¡Gracias!

FICHA RESUMEN

EsteTrabajo

Índice general

Dedicatoria Agradecimiento Ficha Resumen Introducción 1 Formas Diferenciales 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 2 Formas Diferenciales en el Espacio Euclideo . . . . . . . . . . . . . . . . . Algebra Exterior en el Espacio Euclideo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I II III

1 2 2 9

Pull-back de una aplicación diferenciable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 DerivadaExterior en el Espacio Euclideo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 41

Variedades Diferenciables 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5

Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Cálculo Diferencial en Variedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 FormasDiferenciales sobre Variedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Orientación sobre Variedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 75

3

Integración de Formas Diferenciales sobre Variedades 3.1 3.2 3.3 3.4

Integral de una Forma Diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75Variedad con Borde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Lema de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
IV

ÍNDICE GENERAL 3.5 3.6

V

Aplicaciones del Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 Ejercicios Resueltos . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 115 116 117 121

Conclusiones Apéndice A Integral de Riemann Bibliografía

Introducción
La Geometría Diferencial moderna se basa esencialmente en las formas diferenciales, cuya teoría, expuesta en el primer capítulo incluye de manera precisa e integral conceptos tales como campos vectoriales, gradiente, divergencia, Laplaciano,rotacional, etc. Algunos autores denominan a las formas diferenciales como integrandos, por ser ese su rol principal; así, la integración de linea e integración de superficie son casos particulares de la integración de formas diferenciales sobre variedades. El habitat natural de las formas diferenciales son precisamente las variedades diferenciables que se estudian con detalle en el segundo capítulo,siendo las de principal interés aquellas que son compactas y orientables, puesto que estas propiedades topológicas son requisitos indispensables para que la integración sobre variedades no presente ambigüedades. En el tercer capítulo se estudia el principal resultado del presente trabajo, El Teorema de Stokes. Su protagonismo es justificado porque generaliza y engloba resultados clásicos de lageometria diferencial, tales como: el Teorema de Green, El Teorema del Rotacional, Teorema de la Divergencia de Gauss, Teorema Fundamental de Cálculo y la Fórmula Integral de Cauchy estudiada en cursos de Variable Compleja.

1

Capítulo 1

Formas Diferenciales
Para definir formas diferenciales en Rn se necesitan conocimientos previos de Álgebra Multilineal y Cálculo Diferencial. Inicialmentepuede suceder que la notación resulte tediosa; sin embargo, las formas diferenciales y sus propiedades son herramientas bastantes útiles para establecer nuevas definiciones y con ellas cálculos simplificados de resultados importantes de la Geometria Diferencial. En Rn las formas diferenciales resultan bastante familiares, su rol más importante aparece en integración sobre variedades. De manera...