Introducción A Los Números Naturales

INTRODUCCIÓN DE LOS NÚMEROS NATURALES MEDIANTE LOS AXIOMAS DE PEANO

Carlos S. CHINEA

INTRODUCCIÓN DE LOS NÚMEROS NATURALES
MEDIANTE LOS AXIOMAS DE PEANO
El conjunto N de los números naturales puede ser introducido de forma
natural como el conjunto de los cardinales de los conjuntos entre sí
coordinables, en el sentido de Dedekind:

0 = card (φ ), 1 = card ({φ }), 2 = card ({φ , {φ}}), ...
sin embargo, resulta equivalente introducirlos desde el punto de vista de
un lenguaje formalizado, desde la lógica matemática, mediante un
conjunto de axiomas o condiciones postuladas. En 1989 Giusepe Peano
propuso un conjunto de nueve axiomas (que después de algunas
correcciones quedarían en solo cinco) con los cuales es posible deducir en
N tanto las propiedades de las operacionesinternas de suma y
multiplicación como su orden total.
En la presentación que sigue exponemos los cinco postulados de Peano y la
derivación de las propiedades básicas para la suma y la multiplicación en
N, así como su ordenación.
1. Los axiomas de Peano:
Se define el conjunto N de los números naturales como un conjunto que verifica las
cinco condiciones siguientes:
1) Existe un elemento de Nal que llamaremos cero (0), esto es,

0∈ N
2) Existe la llamada aplicación siguiente

ϕ : N → N,

ϕ:N →N:

∀n ∈ N , ϕ (n) ∈ N

3) El cero no es imagen por la aplicación siguiente:

∀n ∈ N , ϕ (n) ≠ 0
4) La aplicación siguiente es inyectiva:

n, m ∈ NxN , ϕ (n) = ϕ (m) → n = m
5) Se verifica la inducción completa:

1) 0 ∈ Α

⇒ A= N
2)∀n ∈ Α → ϕ (n) ∈ A 
Resumiendo lo queafirman estos postulados o axiomas, podemos entender que se
trata de un conjunto que tiene un elemento, el cero (Ax.1), que no es siguiente de
ningún otro (Ax. 3), es decir, se trata del primer elemento del conjunto, y todos los
demás elementos tienen cada uno un elemento siguiente (Ax. 2), de modo que dos

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elementos distintos tienen siguientes distintos (Ax.4). El quinto postulado es de
suma importancia por dotarnos de un método de demostración de propiedades, ya
que nos indica que todo conjunto A al que pertenezca el cero, y tal que todo
elemento de A tiene siguiente en A, necesariamente ha de coincidir con el conjunto
N de los números naturales. Es lo que se acostumbra a denominarmétodo simple
de inducción completa.
A partir de estas cinco condiciones, y usando sistemáticamente el quinto axioma,
de la inducción completa, podemos probar todas las propiedades del conjunto N.
Teorema 1.1:
Ningún número natural coincide con su siguiente, ∀n ∈ N , n ≠ ϕ ( n).
Demostración:
Sea Α = {n ∈ N / n ≠ ϕ ( n)}. Veamos que tal conjunto coincide con N.

1) 0 ∈ Α , pues, por Ax. 3,0 ≠ ϕ (0)

2) ∀n ∈ Α, n ≠ ϕ (n) → ϕ (n) ≠ ϕ (ϕ ( n)) , por Ax. 4. Luego

ϕ ( n) ∈ Α
1) 0 ∈ Α, 2) n ∈ Α → ϕ (n) ∈ Α ⇒ Α = N , por Ax.5.

En definitiva, vemos que
Luego, en todo N se verifica que ningún número natural coincide con su siguiente.
Teorema 1.2:
Si dos aplicaciones de N en N conmutan con la aplicación siguiente y tienen la
misma imagen para el cero, entonces ambas coinciden.Es decir:

f oϕ = ϕ o f 
 ∧ f (0) = g (0) ⇒ f (n) = g (n), ∀n ∈ N
g oϕ = ϕ o g 
donde hemos llamado Ap ( N ) al conjunto de las aplicaciones de N en N.
f , g ∈ Ap( N ) /

Demostración:
Sea Α = {n ∈ N / f ( n) = g ( n)} . Veamos que tal conjunto coincide con N.

0 ∈ Α, pues por hipótesis del teorema, f (0) = g (0).
2) ∀n ∈ Α, f ( n) = g ( n) → ϕ [ f (n)] = ϕ [g ( n)] → (ϕ o f )(n) =(ϕ o g )(n) →
→ ( f o ϕ )(n) = ( g o ϕ )(n) → f [ϕ (n)] = g [ϕ (n)] → ϕ (n) ∈ Α
En definitiva, vemos que 1) 0 ∈ Α, 2) n ∈ Α → ϕ ( n) ∈ Α ⇒ Α = N , por Ax.5.
Luego, se verifica que f ( n) = g (n), ∀n ∈ N .
1)

Teorema 1.3:
Si dos aplicaciones de N en N, f , g ∈ Ap ( N ) , tienen la misma imagen para el cero y
existe alguna aplicación

ρ de

N en N tal que f o ϕ =

ambas aplicaciones...