Isomorfirmo En Espacios Vectoriales

Isomorfismos. Espacios vectoriales isomorfos
Objetivos. Definir las nociones de isomorfismo y espacios vectoriales isomorfos. Demostrar el criterio de espacios vectoriales isomorfos en el caso dedimensi´n finita. o 1. Definici´n (isomorfismo de espacios vectoriales). Sean V y W espacios vectoriao les sobre un campo F. Una aplicaci´n T : V → W se denomina isomorfismo de V sobre o W si es biyectiva ylineal. Lo ultimo significa que ´ T (x + y) = T (x) + T (y) T (α · x) = α · T (x)
V W V W

∀x, y ∈ V, ∀x ∈ V ∀α ∈ F.

2. Ejemplo. La aplicaci´n T : M2,3 (R) → R6 , definida por la regla o   A1,1 A1,2     A1,3  A1,1 A1,2 A1,3  → T: A=  A2,1  , A2,1 A2,2 A2,3    A2,2  A2,3 es un isomorfismo. 3. Proposici´n. Sean V , W espacios vectoriales sobre un campo F, T : V → W un o isomorfismo.Entonces la aplicaci´n inversa T −1 : W → V tambi´n es lineal y por lo tanto o e tambi´n es un isomorfismo. e 4. Definici´n (espacios vectoriales isomorfos). Sean V y W espacios vectoriales o sobre unmismo campo F. Se dice que V y W son isomorfos y se escribe V ∼ W si existe = un isomorfismo de V sobre W . Notaci´n V ∼ W . o = 5. Proposici´n. o V ∼V. = Si V1 ∼ V2 , entonces V2 ∼ V1 . = = Si V1 ∼ V2y V2 ∼ V3 , entonces V1 ∼ V3 . = = =

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6. Teorema. Sean V y W espacios vectoriales sobre un campo F, sea T : V → W un isomorfismo y sea A = (a1 , . . . , an ) una base de V .Entonces B = (T (a1 ), . . . , T (an )) es una base de W y por consecuencia dim(W ) = dim(V ). Demostraci´n. 1. Para demostrar que B es linealmente independiente usemos las hip´teo o sis que la funci´n Tes inyectiva y A es linealmente independiente. Supongamos que o λ1 , . . . , λn ∈ F tales que
n

λj T (aj ) = 0W .
j=1

Aplicamos la linealidad de T en el lado izquierdo de la igualdad:
n

Tj=1

λj aj

= 0W .

La ultima igualdada significa que ´
n

λj aj ∈ ker(T ).
j=1

Como la transformacii´n T es inyectiva, ker(T ) = {0}, as´ que o ı
n

λj aj = 0V .
j=1

Ahora la...