jimmy

Matemática para Ingeniería (MA261)
Taller Nº 8
Ciclo 2013 – 2
Profesores del taller
Coordinador del curso

: Edson Suarez – Agustín Calla – Luis Velarde
: Armando Novoa

Temas: Identidades trigonométrica – Ecuaciones trigonométricas – Vectores en R2 – operaciones con
vectores en R2 – Ecuaciones paramétricas.
MANEJO DE CONCEPTOS
1. Indique el valor de verdad (V o F) de las siguientesproposiciones, justificando claramente sus
respuestas:
 π 3π 
a. El CVA de la ecuación sen x − tan x = 1 − cos x , es R −  ; 
2 2 
π
π


Se tiene que CVA =  x ∈ R / x ≠ + kπ ; k ∈ Z  es decir, CVA = R −  + k π 


2


2
 k ∈Z
Por tanto, la proposición es falsa.

b. La función f cuya regla de correspondencia es f ( x) = sen x + 2 , no presenta ceros.
Dado queDom( f ) = R se tiene que f es cero ↔

f ( x) = 0 esto es sen x + 2 = 0 es decir,

sen x = −2 por lo que es falso, ya que − 1 ≤ sen x ≤ 1 .

c. El vector w =

3 −2
;
13 13

Recuerde, w es unitario ↔

no es unitario.

w =1
2

2

 3 
 −2 
9
4
 +
 =
= 
+
=1




13 13
13 13
 13 
 13 
Por tanto, la proposición es falsa.

Luego, w =

3

;

−2t 6

x = t − 1
x = −
d. Las ecuaciones paramétricas 
; t∈R y 
5 5 ; t ∈ R representan a una misma
 y = 5t + 1
 y = 5t

recta.
x = t − 1
Dado que 
se tiene t = x + 1 , entonces y = 5( x + 1) de donde obtenemos la recta
 y = 5t + 1
5x − y + 5 = 0 .

t 6

x = −
Por otro lado 
5 5 se tiene t = 5 x + 6, entonces y = 5(5 x + 6 ) de donde obtenemos la recta
 y = 5t
25 x − y + 30 = 0 .
Por tanto, la proposición es falsa.

1

 x = 4sen t − 1
e. La gráfica de las ecuaciones paramétricas 
es una circunferencia de radio 2 y
 y = 4 cos t + 2
centro en (− 1;2 ) .

x +1

sen t = 4
 x = 4sen t − 1

De las ecuaciones 
despejando, se tiene 
 y = 4 cos t + 2
cos t = y − 2

4

2

2

 y −2
 x + 1
Usando la identidad sen 2 t+ cos 2 t = 1 obtenemos, 
 = 1 es decir,
 +
4 

 4 
( x + 1) 2 + ( y − 2 ) 2 = 4 2
Por tanto, la proposición es falsa, puesto que es una circunferencia de radio 4

HABILIDADES DE CÁLCULO
2. Determine el CVA y el CS de:
a.

3 cos x + sen ( 2 x ) = 0

Paso. 1
CVA = R
Paso. 2
3 cos x + sen (2 x ) = 0 ↔
↔

cos x = 0 ↔ x =

π
2

3 cos x + 2 sen x cos x = 0

(cos x )()

3 + 2sen x = 0

4π

 x = 3 + 2kπ
3

sen x = −
↔ 
2
 x = − π + 2kπ

3


π
+ kπ
2

y

y

x

3π
2

x
4π
3

−

π
3

π
4π
 π

+ 2kπ; + kπ;
+ 2kπ; k ∈ Z
2
3
 3


Luego, CS = −

b. 6 tan 2 x − 4sec 2 x = 1 , con x ∈ [0;2 π [
Paso. 1
π


CVA =  x ∈ R / x ≠ + kπ ; k ∈ Z 
2


2
Paso. 2 Recuerde que tan x + 1 = sec 2 x ,entonces:

2

(

)

6 tan 2 x − 4 tan 2 x + 1 = 1 →

6 tan 2 x − 4 tan 2 x − 4 = 1

→ 2 tan 2 x − 5 = 0
2

5
→ tan x −
=0
2

5 
 tan x +
→  tan x −

2 


2

→ tan x = −

5
2

5
=0
2


∨ tan x =

→ x = −1,0068  + kπ ∨
x = −1,0068 + kπ
x = 1,0068  + kπ

k = −1
-4,1484…
-2,1347…

k =0
− 1,0068 
1,0068

5
2

x = 1,0068  +kπ con k ∈ Z

k =1
2,1347 
4,1484 

k=2
5,2763
7,2900…

Examinando las soluciones en el CVA y considerando x ∈ [0;2 π[ se tiene como
CS = { ,0068; 2,1347 ; 4,1484; 5,2763}
1

3. Demuestre las siguientes identidades:
1 − sen x
cos x
a.
=
cos x
1 + sen x
L.I =

1 − sen x 1 − sen x 1 + sen x 
=
⋅

cos x
cos x 1 + sen x 

=

b.

1 − sen 2 x
cos 2 x
cosx=
=
= L.D
(cos x )(1 + sen x ) (cos x )(1 + sen x ) 1 + sen x

tan x − cot x
= 1 − 2 cos 2 x
tan x + cot x
sen x cos x sen 2 x − cos 2 x
−
cos x sen x
sen x ⋅ cos x
tan x − cot x
sen 2 x − cos 2 x
L.I =
=
=
=
tan x + cot x sen x cos x sen 2 x + cos 2 x sen 2 x + cos 2 x
+
cos x sen x
sen x ⋅ cos x
=

(1 − cos x )− cos
2

1

2

x

= 1 − 2 cos 2 x = L.D

4....