Juventud

Cap´
ıtulo 1

1.1.

Grupos y Anillos

Sea G un conjunto, dotado con una operaci´n binaria + : G × G → G llamada adici´n; la dupla (G , +) es
o
o
un Grupo si cumple las propiedades: Para todo a, b, c ∈ G
i. a + b ∈ G (Cerradura)
ii. (a + b) + c = a + (b + c) (Propiedad asociativa)
iii. Si existe e ∈ G tal que e + b = b + e = b a e se le llama el elemento neutro.
iv. Adem´s, si paratodo a ∈ G existe −a llamado el inverso de a tal que:
a
a + (−a) = (−a) + a = e
Finalmente, si la operaci´n + es conmutativa en G , es decir a + b = b + a entonces (G , +) es un Grupo
o
Abeliano. Para profundizar en el tema ver Dorronsorro ([6], p. 53)

Por otra parte, si a un grupo abeliano (A, +) (con la + como adici´n) se le dota de una operaci´n binaria
o
o
· : A × A → A llamadaproducto, tal que cumple la cerradura, es decir para a, b ∈ A, a · b ∈ A y es
distributiva respecto a la adici´n, lo que es:
o
∀a, b, c ∈ A, a · (b + c) = a · b + a · c
y
(b + c) · a = b · a + c · a
Si cumple estas condiciones la tripla (A, +, ·) recibe el nombre de Anillo. Si la operaci´n · es conmutativa,
o
se le llama anillo conmutativo; Por cuanto la existencia del elemento neutro no se haasegurado para
el producto, si existe i ∈ A tal que
a · i = i · a = a,
para todo a
∈
A entonces el anillo es llamado Anillo con unidad y el
elemento i recibe el nombre de unidad (este habitualmente se representa por 1), el cual es unico. Un anillo
´
conmutativo con unidad, se dice que es un Cuerpo si para ´l conjunto A∗ = A−{e}, donde e es el modulo
e
de la adici´n, la dupla (A∗ , ·) esun grupo. Temas m´s espec´
o
a
ıficos ver en
Dorronsorro ([6],p. 189-192.)

En un anillo A para elementos, a, b ∈ A se dice que a divide a b y se nota como a|b si existe c ∈ A tal
que b = a · c. De esto se desprende que un elemento u ∈ A es una unidad si u|1 donde 1 es la unidad del
anillo, es decir u tiene inverso.
Una clase importante de anillos son aquellos que no tienen divisores delneutro aditivo, (para mayor
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ITULO 1.

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comodidad se le llamara 0 cero) esto es, si para todo a, b = 0 ∈ A se cumple que a · b = 0 a estos anillos
se les llama de Dominio Enteros (DE), y si existen a = 0 y b = 0 en A tal que a · b = 0 tanto a a como
a b se les llama divisores de cero. (Ver [2],p. 215-217.)

Se dice que h es un irreducible de A, si h = a · b donde a o b son unaunidad de A. Junto con la
definici´n de elemen tos irreducibles en un DE, viene ligado como una generalizaci´n de lo que sucede en
o
o
los enteros, el poder ver a un elemento del conjunto como un producto finito de elementos irreducibles,
es a esta generalizaci´n a la que se llama Dominio de Factorizaci´n Unica (DFU) que cumple las
o
o´
condiciones:
i. Todo
elemento
de
un
DE
que
nosea
0,
ni
una
unidad,
se
representar como un producto finito de irreducibles (a la que se le llama factorizaci´n).
o

puede

ii. si
h1 , h2 , h3 . . . hr
y
q1 , q2 , q3 . . . qs
son
dos
factorizaciones
para
alg´n
u
elemento del DE, entonces r = s y se puede reenumerar los qj de tal forma que qi = hi , adem´s esta
a
representaci´n
o
es
unica
´
salvo
permutaciones de losproductos.
Una clase particular de DFU son los dominios Euclideos, que retoman la idea de la divisibilidad dada del
algoritmo de Euclides y lo generaliza para anillos que sean DFU.

Una evaluaci´n euclidiana para un anillo (A, +, ·) de DE, es una funci´n v : A∗ → Z+ que satisface
o
o
las siguientes condiciones:
i. Para todo a, b ∈ A con b = 0 existe q, r ∈ A tal que
a = b · q + r,
donder = 0 o v (r) < v (b)
ii. Para todo a, b ∈ A donde a = 0 y b = 0, v (a) ≤ v (a · b)
Un anillo (A, +, ·) de DE, es un Dominio Euclidiano (DEc) si existe una evaluaci´n euclideana en A.
o
Se pueden consultar temas espec´
ıficos en Fraleigh ([2], p.291-304).

1.2.

Primos

Un anillo con unidad es el conjunto de los n´meros enteros (Z, +, ·) con la adici´n y el producto usual de
u
o
los...